Multiplikation och division

Vad multiplikation är ↑

Multiplikation är ett snabbt sätt att lägga ihop samma tal många gånger.källaMultiplikation är att lägga ihop samma tal många gånger. (sv.wikipedia.org, ne.se)förenkling Källorna säger att multiplikation kan ses som upprepad addition. Kapitlet säger att den är det, vilket stämmer för de naturliga tal kapitlet räknar med. Till källsidan →

Pricken $\cdot$ betyder gånger.källaMultiplikationstecknet i svensk text är en halvhög punkt, ·, och det läses gånger. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org, ne.se) Till källsidan →

Talen har namn. De tal du multiplicerar kallas faktorer — här är $3$ och $4$ faktorer. Svaret i en multiplikation kallas produkt — här är produkten $12$.

Ett rutnät visar vad som händer. Tre rader med fyra prickar i varje är $3\cdot 4$. Vrider du bilden ett kvartsFemton minuter är en fjärdedels timme och kallas en kvart.Förklaras i Enheter och tid › Klockan varv blir det fyra rader med tre prickar, alltså $4\cdot 3$. Det är exakt samma prickar, bara vridna, så $3\cdot 4=4\cdot 3=12$.

Ordningen spelar ingen roll när du multiplicerar.källaOrdningen spelar ingen roll när man multiplicerar två tal: a · b = b · a. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org)förenkling Kapitlet skriver "ordningen spelar ingen roll" i stället för att namnge kommutativa lagen, och visar det för två faktorer. För tre eller fler faktorer behövs också associativa lagen, som kapitlet inte tar upp. Till källsidan → Det är skönt att veta, för då behöver du bara lära dig halva multiplikationstabellen, alltså alla produkter från $1\cdot 1$ till $10\cdot 10$källaMultiplikationstabellen är alla produkter av heltalen upp till 10, från 1 · 1 till 10 · 10. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →. Kan du $7\cdot 8=56$ så kan du också $8\cdot 7=56$.

Två tal är speciella. Gånger $1$ ändrar ingetkällaGånger 1 ändrar inget: ett tal gånger 1 är talet självt. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →: $9\cdot 1=9$. Gånger $0$ ger alltid $0$källaGånger 0 ger alltid 0. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →: $9\cdot 0=0$, för noll påsar med nio äpplen är inga äpplen alls.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Multiplikationstabellen →

Multiplikationstabellen ↑

Multiplikationstabellen ska sitta i huvudet. Du lär dig den snabbast med knep, i stället för att rabbla den om och om igen.

$2$-tabellen är att dubbla.källaGånger 2 är att dubbla talet, gånger 4 är att dubbla två gånger och gånger 8 är att dubbla tre gånger; 6-tabellen är dubbla 3-tabellen. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org) Till källsidan → $2\cdot 7$ är $7+7=14$.

$10$-tabellen är att sätta en nolla på slutet: $10\cdot 7=70$. Varför det blir så förklaras i nästa avsnitt.

$5$-tabellen är halva $10$-tabellen.källa5-tabellen är halva 10-tabellen, och produkterna i 5-tabellen slutar alltid på 0 eller 5. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → $5\cdot 8$: tänk $10\cdot 8=80$ och halvera, $40$. Produkterna slutar alltid på $0$ eller $5$.källa5-tabellen är halva 10-tabellen, och produkterna i 5-tabellen slutar alltid på 0 eller 5. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →

$4$-tabellen är att dubbla två gånger.källaGånger 2 är att dubbla talet, gånger 4 är att dubbla två gånger och gånger 8 är att dubbla tre gånger; 6-tabellen är dubbla 3-tabellen. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org) Till källsidan → $4\cdot 6$: dubbla $6$ till $12$, dubbla igen till $24$. $8$-tabellen är att dubbla tre gånger.källaGånger 2 är att dubbla talet, gånger 4 är att dubbla två gånger och gånger 8 är att dubbla tre gånger; 6-tabellen är dubbla 3-tabellen. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org) Till källsidan → $8\cdot 6$: $6\to 12\to 24\to 48$.

$9$-tabellen är $10$-tabellen minus talet en gång.källa9-tabellen är 10-tabellen minus talet en gång: 9 gånger ett tal är 10 gånger talet minus talet. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →

$3$-, $6$- och $7$-tabellen har inga lika enkla knep, men $6$-tabellen är dubbla $3$-tabellenkällaGånger 2 är att dubbla talet, gånger 4 är att dubbla två gånger och gånger 8 är att dubbla tre gånger; 6-tabellen är dubbla 3-tabellen. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org) Till källsidan →: $6\cdot 7$ är dubbelt så mycket som $3\cdot 7=21$, alltså $42$. De produkterSvaret i en multiplikation kallas produkt — här är produkten $12$.Förklaras i avsnittet Vad multiplikation är som återstår, som $3\cdot 7=21$ och $7\cdot 7=49$, får du lära dig utantill, och de är inte många.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Huvudräkning →

Huvudräkning ↑

Gånger 10, 100 och 1 000

När du multiplicerar med $10$ blir varje siffra tio gånger mer värd.källaGånger 10 blir varje siffra tio gånger mer värd och flyttar ett steg åt vänster; gånger 100 flyttar siffrorna två steg och ger två nollor, och gånger 1 000 ger tre nollor. (sv.wikipedia.org, matteboken.se)förenkling Kapitlet förklarar det som siffror som flyttar, inte med tiopotenser. Till källsidan → Det betyder att siffran flyttar ett steg åt vänster i talet.källaGånger 10 blir varje siffra tio gånger mer värd och flyttar ett steg åt vänster; gånger 100 flyttar siffrorna två steg och ger två nollor, och gånger 1 000 ger tre nollor. (sv.wikipedia.org, matteboken.se)förenkling Kapitlet förklarar det som siffror som flyttar, inte med tiopotenser. Till källsidan → Talet $34$ är $3$ tiotal och $4$ ental. Gånger $10$ blir tiotalen hundratal och entalen tiotal: $3$ hundratal och $4$ tiotal, alltså $340$. Nollan fyller platsen där entalen var.

Gånger $100$ flyttar siffrorna två steg och ger två nollorkällaGånger 10 blir varje siffra tio gånger mer värd och flyttar ett steg åt vänster; gånger 100 flyttar siffrorna två steg och ger två nollor, och gånger 1 000 ger tre nollor. (sv.wikipedia.org, matteboken.se)förenkling Kapitlet förklarar det som siffror som flyttar, inte med tiopotenser. Till källsidan →: $34\cdot 100=3400$. Gånger $1000$ ger tre nollorkällaGånger 10 blir varje siffra tio gånger mer värd och flyttar ett steg åt vänster; gånger 100 flyttar siffrorna två steg och ger två nollor, och gånger 1 000 ger tre nollor. (sv.wikipedia.org, matteboken.se)förenkling Kapitlet förklarar det som siffror som flyttar, inte med tiopotenser. Till källsidan →: $34\cdot 1000=34000$.

Se upp med tal som redan slutar på noll. $50\cdot 100$ har en nolla i $50$ och två i $100$, så svaret har tre: $5000$. Räkna nollorna, glöm inte den som redan fanns.

Dela upp talet

$6\cdot 23$ står inte i tabellen. Men $23$ är $20+3$, så du kan räkna de två delarna var för sig och lägga ihopkällaEtt tal kan delas upp i delar som multipliceras var för sig och sedan läggs ihop: a · (b + c) = a · b + a · c. (sv.wikipedia.org, matteboken.se)förenkling Kapitlet visar distributiva lagen som att dela upp ett tal i tiotal och ental, utan att namnge lagen. Till källsidan →: $6\cdot 20=120$ och $6\cdot 3=18$, tillsammans $138$.

Bilden visar varför det fungerar. Hela rektangelnRektangel: alla fyra vinklarna är räta, men sidorna är lika långa bara två och två.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Fyrhörningar har $6$ rader med $23$ rutor i varje, alltså $6\cdot 23$ rutor. Delar du den efter $20$ rutor får du en stor del med $6\cdot 20=120$ rutor och en smal del med $6\cdot 3=18$ rutor. Tillsammans är de fortfarande hela rektangeln.

$$6\cdot 23=6\cdot 20+6\cdot 3=120+18=138$$

Är svaret rimligt

Innan du räknar kan du göra ett överslagEtt överslag är ett ungefärligt svar som du räknar ut snabbt, med avrundade tal.Förklaras i Addition och subtraktion › Överslag och rimlighet: en snabb, ungefärlig räkning med tal som är lättare att räkna medkällaEtt överslag är en snabb, ungefärlig räkning med tal som är lättare att räkna med. (sv.wikipedia.org, skolverket.se) Till källsidan →, som $20$ i stället för $23$.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Multiplikation med uppställning →

Multiplikation med uppställning ↑

När talen blir stora är det säkrare att skriva upp räkningen. Du ställer talet med flera siffror överst och faktorn som bara har en siffra under, med entalen rakt under varandra.källaI en uppställning står talen under varandra med entalen rakt under varandra, och man räknar från höger till vänster, en siffra i taget. (en.wikipedia.org, matteboken.se)förenkling Kapitlet visar bara uppställning där den ena faktorn har en siffra, så det blir en enda rad. Till källsidan → Sedan räknar du från höger till vänster, en siffra i taget.källaI en uppställning står talen under varandra med entalen rakt under varandra, och man räknar från höger till vänster, en siffra i taget. (en.wikipedia.org, matteboken.se)förenkling Kapitlet visar bara uppställning där den ena faktorn har en siffra, så det blir en enda rad. Till källsidan →

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Vad division är →

Vad division är ↑

Division är att dela.källaDivision är att dela. (ne.se) Till källsidan →

Strecket betyder delat med.källaDivision kan skrivas med ett snedstreck, som läses delat med. (sv.wikipedia.org, matmin.kevius.com, matteboken.se) Till källsidan →

Talen har namn också här. Talet som ska delas, $24$, kallas täljare. Talet du delar med, $4$, kallas nämnare. Svaret i en division kallas kvot — här är kvoten $6$.

Samma division kan betyda två olika sakerkällaEn division kan betyda två saker: att dela lika i ett antal delar (delningsdivision), eller hur många gånger ett tal går i ett annat (innehållsdivision). (ncm.gu.se)förenkling Kapitlet kallar dem kort delning och innehåll. Till källsidan →:

• Delning. $24$ kolor delas lika i $4$ högar. Hur många i varje hög? $6$.
• Innehåll. $24$ kolor läggs i påsar med $4$ i varje. Hur många påsar blir det, alltså hur många gånger går $4$ i $24$? $6$.

Båda ger $24/4=6$, och det är bra att kunna tänka på båda sätten. "Hur många gånger går fyra i tjugofyra?" är frågan du ställer när du räknar.

Division och multiplikation hör ihop

$24/4=6$ eftersom $6\cdot 4=24$. Varje division är en multiplikation baklängeskällaVarje division är en multiplikation baklänges: kvoten gånger nämnaren är täljaren. (sv.wikipedia.org, ne.se, ncm.gu.se, majema.se) Till källsidan →, så när du kan tabellerna kan du också dela. $56/8$: vad gånger $8$ blir $56$? $7$. Och du kan alltid kontrollera en division genom att multiplicera tillbaka: kvoten gånger nämnaren ska bli täljarenkällaVarje division är en multiplikation baklänges: kvoten gånger nämnaren är täljaren. (sv.wikipedia.org, ne.se, ncm.gu.se, majema.se) Till källsidan →.

Att dela med $10$ är gånger $10$ baklänges: siffrorna flyttar ett steg åt högerkällaAtt dela med 10 är gånger 10 baklänges: siffrorna flyttar ett steg åt höger. (sv.wikipedia.org)förenkling Det gäller exakt för tal som slutar på noll, och kapitlet använder bara sådana. För andra tal ger delat med 10 ett decimaltal, som hör till senare årskurser. Till källsidan →, så $340/10=34$ och $3400/100=34$.

Att dela med $1$ ändrar ingetkällaAtt dela med 1 ändrar inget, och att dela ett tal med sig självt ger 1. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org) Till källsidan →: $9/1=9$. Att dela ett tal med sig självt ger $1$källaAtt dela med 1 ändrar inget, och att dela ett tal med sig självt ger 1. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org) Till källsidan →: $9/9=1$. Och till skillnad från multiplikation spelar ordningen rollkällaTill skillnad från multiplikation spelar ordningen roll i division. (en.wikipedia.org, sv.wikipedia.org) Till källsidan →: $24/4$ är $6$, men $4/24$ är mindre än $1$.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Kort division och rest →

Kort division och rest ↑

När täljaren är för stor för tabellen delar du en siffra i taget, från vänsterkällaI kort division delar man en siffra i taget, från vänster, och tar två siffror på en gång om den första siffran är mindre än nämnaren. (sv.wikipedia.org, matteboken.se)förenkling Wikipedia säger att man håller minnessiffran i huvudet; kapitlet låter eleven skriva den framför nästa siffra, vilket är samma räkning. Till källsidan →, och det kallas kort division.

Om första siffran är mindre än nämnaren tar du två siffror på en gång.källaI kort division delar man en siffra i taget, från vänster, och tar två siffror på en gång om den första siffran är mindre än nämnaren. (sv.wikipedia.org, matteboken.se)förenkling Wikipedia säger att man håller minnessiffran i huvudet; kapitlet låter eleven skriva den framför nästa siffra, vilket är samma räkning. Till källsidan →

Rest

Ibland går det inte jämnt ut. $23$ kolor på $5$ barn: var och en får $4$, för $4\cdot 5=20$, och $3$ kolor blir över. Det som blir över i en division kallas rest, och vi skriver

$$23/5=4\text{ rest }3$$

Resten är alltid mindre än nämnaren.källaResten är alltid mindre än nämnaren. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → Blir resten lika stor som nämnarenTalet du delar med, $4$, kallas nämnare.Förklaras i avsnittet Vad division är eller större, har du glömt att dela ut en omgång till. Kontrollen är: kvoten gånger nämnaren plus resten ska bli täljarenkällaKvoten gånger nämnaren plus resten är täljaren. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →, $4\cdot 5+3=23$.

Rest dyker upp i kort division också.

Källor till det här avsnittet