Uttryck, ekvationer och funktioner

Uttryck med variabler ↑

En variabel är en bokstav som står för ett tal vi inte bestämt än. $3x+2$ är ett uttryck: en beräkning som väntar på att $x$ ska få ett värde. Sätter du in $x=4$ blir värdet

$$3\cdot 4+2=14$$

Delarna i ett uttryck kallas termer. I $3x+2$ är $3x$ en term och $2$ en annan. Talet framför variabeln, som $3$ i $3x$, kallas koefficient. $3x$ betyder $3\cdot x$ — gångertecknet skrivs inte ut.

Lika termer kan slås ihop. Termer med $x$ hör ihop, tal utan $x$ hör ihop:

Med potenserEn potens är ett kort sätt att skriva att samma tal multipliceras med sig självt flera gånger.Förklaras i Potenser och kvadratrötter › Vad en potens är gäller potenslagarna, precis som för tal. $x\cdot x=x^2$ och $2x\cdot 3x=6x^2$. Men se upp: $x^2+x^2=2x^2$ — det är två stycken $x^2$, inte $x^4$. Vid addition slår du ihop termerna, vid multiplikation adderar du exponenternakällaNär potenser med samma bas multipliceras adderas exponenterna: $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Parenteser →

Parenteser ↑

En siffra framför en parentes gäller alla termerDelarna i ett uttryck kallas termer.Förklaras i avsnittet Uttryck med variabler inuti, och den regeln heter den distributiva lagen:

Ett minustecken framför en parentes byter tecken på allt inuti:

$$5-(x-2)=5-x+2=7-x$$

Det vanligaste felet i hela kapitlet är att bara byta tecken på första termen och få $5-x-2$. Minuset gäller hela parentesen.

Lagen går också baklänges. Har alla termer samma tal eller samma variabelEn variabel är en bokstav som står för ett tal vi inte bestämt än.Förklaras i avsnittet Uttryck med variabler som faktor, en gemensam faktor, kan den lyftas ut framför en parentes:

$$6x+9=3(2x+3)$$

Att lyfta ut en gemensam faktor kallas att faktorisera, och det är ofta första steget när något ska förenklas.

När två parenteser multipliceras, multiplicerar du varje term i den ena med varje term i den andra.

$$(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$$

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Ekvationer →

Ekvationer ↑

En ekvation är två uttryck med ett likhetstecken emellan, och en fråga: för vilket $x$ är de lika?källaEn ekvation är ett samband med ett likhetstecken som gäller för vissa värden på en okänd storhet, oftast kallad $x$. (ne.se)förenkling NE talar om ett samband som uppfylls av en okänd storhet; kapitlet säger två uttryck med ett likhetstecken emellan och frågan för vilket $x$ de är lika. Till källsidan →

$$3x+4=19$$

Tänk på likhetstecknet som en balansvåg. Gör du samma sak på båda sidor står den kvar i jämvikt.källaSvenska läromedel brukar visa likhetstecknet som en balansvåg: en ändring på ena sidan måste balanseras med samma ändring på den andra. (larportalen.skolverket.se) Till källsidan → Målet är att få $x$ ensamt på ena sidan. Att lösa ekvationer genom att alltid ändra båda sidor likadant kallas balansmetoden.

Står $x$ på båda sidor, samlar du först alla $x$ på samma sida:

$$\begin{array}{rlrl}5x-3& =2x+9& & \\ 3x-3& =9& & \text{(minus }2x\text{ pa˚ ba˚da sidor)}\\ 3x& =12& & \\ x& =4& & \end{array}$$

Ekvationer där $x$ bara finns med som $x$, aldrig som $x^2$, kallas linjära ekvationer. Alla ekvationer ovan är linjära.

En andragradsekvation har $x^2$ i sig. De enklaste löses med roten urkällaEnkla andragradsekvationer, som de i årskurs 7–9, löses genom att man räknar ut kvadratrötter. (skolverket.se) Till källsidan → — men glöm inte att det finns två lösningarkällaEtt positivt tal har två kvadratrötter, en positiv och en negativ, så en ekvation som $x^2=49$ har två lösningar: $x=7$ och $x=-7$. (ne.se) Till källsidan →:

$$x^2=49\Rightarrow x=7\text{ eller }x=-7$$

eftersom både $7^2$ och $(-7{)}^2$ är $49$. Det skrivs ofta $x=\pm 7$, som läses "plus eller minus sju".

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Koordinatsystem och räta linjen →

Koordinatsystem och räta linjen ↑

Ett koordinatsystem har en vågrät $x$-axel och en lodrät $y$-axel som skär varandra i origo, $(0,0)$. En punkt anges med två tal, $(x,y)$: först hur långt åt sidan, sedan hur långt upp.källaEn punkt i ett koordinatsystem anges med en ordnad följd av tal, $(x,y)$, där $x$ hör till den vågräta axeln och $y$ till den lodräta. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → $(3,2)$ ligger tre steg åt höger och två upp.

Ekvationen $y=2x+1$ beskriver alla punkter där $y$ är två gånger $x$ plus ett. Gör en tabell:

Prickar du in punkterna ligger de på en rät linje.

Alla ekvationer på formen

$$y=kx+m$$

ger räta linjer. Därför kallas $y=kx+m$ för räta linjens ekvation.källaEn rät linje kan skrivas $y=kx+m$, och den formen kallas räta linjens ekvation. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → De två talen $k$ och $m$ har var sin betydelse:

• $m$ är där linjen skär $y$-axeln, alltså värdet på $y$ när $x=0$.källaI $y=kx+m$ är $m$ det värde där linjen skär $y$-axeln, alltså $y$ när $x=0$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → Här $m=1$: linjen går genom $(0,1)$.
• $k$ är lutningen: hur mycket $y$ ökar när $x$ ökar med ett steg.källaI $y=kx+m$ är $k$ linjens lutning, riktningskoefficienten, och den räknas ut från två punkter som skillnaden i $y$ delat med skillnaden i $x$: $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → Här $k=2$: för varje steg åt höger går linjen två steg upp.

Negativt $k$ betyder att linjen lutar nedåt. $k=0$ ger en vågrät linje.källaEn linje med positivt $k$ stiger, en med negativt $k$ faller, och $k=0$ ger en vågrät linje. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org) Till källsidan → Två linjer med samma $k$ är parallella — $y=3x-2$ och $y=3x+5$ lutar lika och möts aldrig.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Funktioner →

Funktioner ↑

En funktion är en regel som tar ett tal in och ger exakt ett tal ut. En taxi kostar $50$ kr i startavgift och $3$ kr per kilometer. Priset $y$ beror på sträckan $x$:

$$y=3x+50$$

Samma samband kan visas på tre sätt, och du ska kunna gå mellan dem:

• Formel: $y=3x+50$.
• Tabell: $x=10$ ger $y=80$, $x=20$ ger $y=110$, $x=30$ ger $y=140$.
• Graf: en rät linje med $m=50$ (startavgiften) och $k=3$ (priset per kilometer).

Lutningen $k$ är funktionens förändringstakt — hur mycket $y$ ändras per enhet $x$. Här: $3$ kronor per kilometer.

Ett specialfall är viktigt nog för ett eget namn. När $m=0$ går linjen genom origoEtt koordinatsystem har en vågrät $x$-axel och en lodrät $y$-axel som skär varandra i origo, $(0,0)$.Förklaras i avsnittet Koordinatsystem och räta linjen och $y$ är proportionell mot $x$: dubbla $x$ ger dubbla $y$. $y=4x$ är en proportionalitet — fyra kronor per styck, ingen startavgift. $y=4x+1$ är det inte, för $x=0$ ger $y=1$, inte $0$.

Källor till det här avsnittet