Potenser och kvadratrötter

Vad en potens är ↑

En potens är ett kort sätt att skriva att samma tal multipliceras med sig självt flera gånger:

$$2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$$

Talet som upprepas i en potens, här $2$, kallas bas. Talet uppe till höger om basen, här $5$, kallas exponent och talar om hur många gånger basen ska stå med. Man säger "två upphöjt till fem", och potensens värde är $32$.

Två exponenter har egna namn. $a^2$ läses "$a$ i kvadrat" eftersom det är arean av en kvadrat med sidan $a$källaPotensen $a^2$ läses ”$a$ i kvadrat” och är arean av en kvadrat med sidan $a$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →. $a^3$ läses "$a$ i kubik" eftersom det är volymen av en kub med sidan $a$källaPotensen $a^3$ läses ”$a$ i kubik” och är volymen av en kub med sidan $a$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →.

Två specialfall som är lätta att glömma:

• $a^1=a$ — basen står med en gångkällaEtt tal upphöjt till ett är talet självt: $a^1=a$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →.
• $a^0=1$ — för alla tal utom nollkällaEtt tal upphöjt till noll är ett, för alla tal utom noll: $a^0=1$ när $a\ne 0$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →. Det låter konstigt, men det följer av potenslagarna nedan.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Potenslagarna →

Potenslagarna ↑

Tre regler räcker för nästan allt. Alla tre kräver att potensernaEn potens är ett kort sätt att skriva att samma tal multipliceras med sig självt flera gånger.Förklaras i avsnittet Vad en potens är har samma basTalet som upprepas i en potens, här $2$, kallas bas.Förklaras i avsnittet Vad en potens är.

Multiplikation — addera exponenternaTalet uppe till höger om basen, här $5$, kallas exponent och talar om hur många gånger basen ska stå med.Förklaras i avsnittet Vad en potens är

När två potenser med samma bas multipliceras, adderas exponenternakällaNär två potenser med samma bas multipliceras, adderas exponenterna: $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →:

$$3^4\cdot 3^2=3^{4+2}=3^6$$

Varför? $3^4\cdot 3^2=(3\cdot 3\cdot 3\cdot 3)\cdot (3\cdot 3)$ — det är sex treor som multipliceras.

Division — subtrahera exponenterna

När två potenser med samma bas divideras, subtraheras exponenternakällaNär två potenser med samma bas divideras, subtraheras exponenterna: $\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$ när $x\ne 0$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →:

$$\frac{5^7}{5^4}=5^{7-4}=5^3$$

Sju femmor i täljaren, fyra i nämnaren. Fyra av dem tar ut varandra, tre blir kvar.

Potens av en potens — multiplicera exponenterna

När en potens upphöjs till en ny exponent, multipliceras exponenternakällaNär en potens upphöjs till en ny exponent, multipliceras exponenterna: $(x^m{)}^n=x^{m\cdot n}$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →:

Nu ser du varför $a^0=1$: enligt divisionslagen är $\frac{a^3}{a^3}=a^{3-3}=a^0$, men ett tal delat med sig självt är alltid $1$.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Negativa exponenter →

Negativa exponenter ↑

Fortsätt divisionslagen ett steg för långt:

Det är hela regeln: en negativ exponent betyder att du tar $1$ delat med potensen utan minustecknetkällaEn negativ exponent betyder ett delat med potensen med positiv exponent: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ när $a\ne 0$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →, som när $2^{-3}$ blir $\frac{1}{2^3}$. Talet blir litet, inte negativt. $2^{-3}$ är ett positivt tal mindre än ett.

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Med tiopotenser blir det extra tydligt: $10^{-1}=0,1$, $10^{-2}=0,01$, $10^{-3}=0,001$. ExponentenTalet uppe till höger om basen, här $5$, kallas exponent och talar om hur många gånger basen ska stå med.Förklaras i avsnittet Vad en potens är säger hur många steg kommatecknet flyttas.

Andra potenserEn potens är ett kort sätt att skriva att samma tal multipliceras med sig självt flera gånger.Förklaras i avsnittet Vad en potens är med negativ exponent gör du om till decimaltal i två steg: skriv dem som bråk och räkna sedan ut bråket. $2^{-3}=\frac{1}{8}=0,125$.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Grundpotensform och prefix →

Grundpotensform och prefix ↑

Stora och små tal blir oöverskådliga med många nollor. Avståndet till solen är ungefär $150000000000$ meterkällaAvståndet från jorden till solen är i genomsnitt ungefär 150 000 000 000 meter. (smhi.se)förenkling Källan anger 149 600 000 kilometer, alltså $1,496\cdot 10^{11}$ meter; kapitlet avrundar till 150 000 000 000 meter. Till källsidan →. Diametern på ett hårstrå är ungefär $0,00008$ meterkällaDiametern på ett hårstrå är ungefär 0,00008 meter, alltså 80 mikrometer. (hypertextbook.com, hypertextbook.com)förenkling Ett hårstrå har ingen standardtjocklek. Källan anger uppmätta diametrar från 17 till 181 mikrometer. Kapitlets 80 mikrometer är ett exempel inom spannet, inte ett medelvärde. Till källsidan →. Ett tal i grundpotensform skrivs som ett tal mellan $1$ och $10$ gånger en tiopotens:

$$a\cdot 10^n\text{da¨r }1\le a<10$$

$$150000000000=1,5\cdot 10^{11}0,00008=8\cdot 10^{-5}$$

Sättet att hitta exponentenTalet uppe till höger om basen, här $5$, kallas exponent och talar om hur många gånger basen ska stå med.Förklaras i avsnittet Vad en potens är: räkna hur många steg kommatecknet ska flyttas för att talet ska hamna mellan $1$ och $10$. Åt vänster ger positiv exponent, åt höger ger negativ.

Kravet $1\le a<10$ gör att varje tal bara kan skrivas på ett sätt i grundpotensform. $45\cdot 10^5$ är samma tal som $4,5\cdot 10^6$, men bara det senare är grundpotensform.

Prefix är tiopotenser med namn. De sitter framför en enhet och säger hur stor den ärkällaPrefixen sitter framför en enhet: giga (G) betyder $10^9$, mega (M) $10^6$, kilo (k) $10^3$, milli (m) $10^{-3}$, mikro (µ) $10^{-6}$ och nano (n) $10^{-9}$. (nist.gov) Till källsidan →:

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Kvadratrötter →

Kvadratrötter ↑

Kvadratroten går baklänges från kvadraten: $\sqrt{16}$ är det tal som ger $16$ när det kvadreras.

$$\sqrt{16}=4\text{eftersom}{4}^2=16$$

På samma sätt är $\sqrt{81}=9$, $\sqrt{100}=10$ och $\sqrt{1}=1$. Med kvadratroten menas alltid det positiva taletkällaMed kvadratroten menas alltid det positiva talet, inte det negativa som ger samma kvadrat. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →, trots att $(-4{)}^2$ också är $16$.

Tal som $16$, $81$ och $100$ kallas perfekta kvadrater, eftersom de är ett heltal i kvadrat. De flesta tal är inte det. $\sqrt{2}$ är inget heltal och inget bråkkällaKvadratroten ur två, ungefär $1,4142$, är inget heltal och inget bråk utan ett irrationellt tal. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → — decimalerna tar aldrig slut och upprepar sig inte: $1,41421\dots$ Tal som inte kan skrivas som heltal eller bråk kallas irrationella tal. Heltalen, bråken och de irrationella talen bildar tillsammans de reella talen — alla tal som finns på tallinjen, och det är dem vi räknar med i resten av grundskolan.

Utan räknare uppskattar du en rot genom att klämma in den mellan två kvadrater du känner:

Roten ur ett negativt tal går inte att ta bland de reella talenkällaRoten ur ett negativt tal går inte att ta bland de reella talen, eftersom ingen kvadrat av ett reellt tal är negativ. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →. Det finns inget reellt tal som ger $-9$ när det kvadreras, för en kvadrat är aldrig negativ.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Räkna med kvadratrötter →

Räkna med kvadratrötter ↑

Två regler följer direkt av vad roten betyder.

Kvadrat och rot tar ut varandra

Att kvadrera en kvadratrot, eller att ta roten ur en kvadrat, ger tillbaka talet man började medkällaFör ett positivt tal $x$ gäller $(\sqrt{x}{)}^2=x$ och $\sqrt{x^2}=x$: kvadrat och rot tar ut varandra. (sv.wikipedia.org)förenkling Allmänt gäller $\sqrt{x^2}=|x|$. Kapitlet visar bara positiva tal, där det blir $\sqrt{x^2}=x$. Till källsidan →:

$$(\sqrt{7}{)}^2=7\sqrt{7^2}=7$$

Roten ur en produkt

Roten ur en produkt är produkten av rötternakällaRoten ur en produkt är produkten av rötterna: $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →:

$$\sqrt{9\cdot 4}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{4}=3\cdot 2=6$$

Kontrollera: $9\cdot 4=36$ och $\sqrt{36}=6$. Stämmer. Roten ur en division går att dela upp på samma sättkällaRoten ur en kvot är kvoten av rötterna: $\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →: $\sqrt{\frac{36}{4}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}=\frac{6}{2}=3$.

Men det gäller inte addition. $\sqrt{9+16}$ är $\sqrt{25}=5$, medan $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$. Roten ur en summa kan inte delas upp.

KvadratrötterKvadratroten går baklänges från kvadraten: $\sqrt{16}$ är det tal som ger $16$ när det kvadreras.Förklaras i avsnittet Kvadratrötter dyker upp så snart en area är känd och sidan söks. En kvadratisk tomt på $400$ m² har sidan $\sqrt{400}=20$ m. I geometrikapitlet kommer de tillbaka i Pythagoras sats.

Källor till det här avsnittet