Övningar · Potenser och kvadratrötter · Matematik · Årskurs 9 · Grundskolan

Vad en potens är

Skriv som en potens och räkna ut värdet.

a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

b) $5 \cdot 5 \cdot 5$

c) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Facit

a) $3^{4} = 81$

b) $5^{3} = 125$

c) $1 0^{6} = 1000000$

Basen är talet som upprepas, exponenten är hur många gånger det står med. a) Fyra treor: $3^{4}$ , och $3 \cdot 3 = 9$ , $9 \cdot 3 = 27$ , $27 \cdot 3 = 81$ . b) Tre femmor: $5 \cdot 5 = 25$ , $25 \cdot 5 = 125$ . c) Sex tior ger en etta följd av sex nollor.
Räkna ut.

a) $4^{3}$

b) $7^{2}$

c) $6^{1}$

d) $1 2^{0}$

Facit

a) $64$

b) $49$

c) $6$

d) $1$

a) $4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$ . b) $7 \cdot 7 = 49$ . c) Exponenten $1$ betyder att basen står med en gång. d) Exponenten $0$ ger alltid $1$ , oavsett bas (utom noll).
Räkna ut, och var noga med vad exponenten gäller.

a) $5 \cdot 2^{3}$

b) $(5 \cdot 2)^{3}$

c) $3^{2} + 4^{2}$

d) $(3 + 4)^{2}$

Facit

a) $40$

b) $1000$

c) $25$

d) $49$

Utan parentes hör exponenten bara till talet närmast före. a) $2^{3} = 8$ , sedan $5 \cdot 8 = 40$ . b) Parentesen först: $5 \cdot 2 = 10$ , sedan $1 0^{3} = 1000$ . c) $9 + 16 = 25$ . d) Parentesen först: $3 + 4 = 7$ , sedan $7^{2} = 49$ . Lägg märke till att c) och d) inte ger samma svar — en exponent kan inte delas ut över ett plus.

Potenslagarna

Skriv som en enda potens.

a) $7^{3} \cdot 7^{5}$

b) $\frac{2 ^{6}}{2 ^{2}}$

c) $(5^{2})^{4}$

Facit

a) $7^{8}$

b) $2^{4}$

c) $5^{8}$

Samma bas i alla tre. a) Multiplikation: addera exponenterna, $3 + 5 = 8$ . b) Division: subtrahera, $6 - 2 = 4$ . c) Potens av en potens: multiplicera, $2 \cdot 4 = 8$ . Basen ändras aldrig.
Skriv som en enda potens och räkna sedan ut värdet.

a) $\frac{2 ^{3} \cdot 2 ^{4}}{2 ^{5}}$

b) $\frac{( 3 ^{2} ) ^{2}}{3 ^{3}}$

Facit

a) $2^{2} = 4$

b) $3^{1} = 3$

a) Täljaren först: $2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7}$ . Sedan divisionen: $2^{7 - 5} = 2^{2} = 4$ . b) Täljaren: $(3^{2})^{2} = 3^{2 \cdot 2} = 3^{4}$ . Sedan $3^{4 - 3} = 3^{1} = 3$ . Kontroll av a): $\frac{8 \cdot 16}{32} = \frac{128}{32} = 4$ .
Någon skriver $4^{3} \cdot 4^{2} = 1 6^{5}$ . Vad blev fel, och vad är rätt svar som potens och som tal?

Facit

Basen ska behållas, inte multipliceras. Rätt är $4^{5} = 1024$ .

$4^{3} \cdot 4^{2}$ är tre fyror gånger två fyror, alltså fem fyror: $4^{5}$ . Basen är fortfarande $4$ — det är bara exponenterna som adderas. $4^{5} = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024$ . Att $1 6^{5}$ är fel syns på storleken: $1 6^{5}$ är över en miljon, medan $64 \cdot 16 = 1024$ .
En bakteriekultur fördubblas varje timme. Efter $3$ timmar finns det $2^{3}$ gånger så många bakterier som från början. Hur många gånger fler finns det efter ytterligare $5$ timmar? Skriv svaret som en potens och som ett tal.

Facit

$2^{3} \cdot 2^{5} = 2^{8} = 256$ gånger så många.

Fem timmar till ger fem fördubblingar till, alltså gånger $2^{5}$ . Tillsammans $2^{3} \cdot 2^{5} = 2^{3 + 5} = 2^{8}$ . Och $2^{8} = 256$ , eftersom $2^{4} = 16$ och $16 \cdot 16 = 256$ . Det är samma sak som $8$ fördubblingar på $8$ timmar.

Negativa exponenter

Skriv som bråk och som decimaltal.

a) $5^{- 1}$

b) $2^{- 4}$

c) $1 0^{- 3}$

Facit

a) $\frac{1}{5} = 0, 2$

b) $\frac{1}{16} = 0, 0625$

c) $\frac{1}{1 000} = 0, 001$

Negativ exponent betyder "ett delat med": $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ . a) $\frac{1}{5 ^{1}} = \frac{1}{5}$ . b) $2^{4} = 16$ , så $\frac{1}{16}$ ; $1/16 = 0, 0625$ . c) $1 0^{3} = 1000$ , och kommatecknet flyttas tre steg: $0, 001$ . Alla tre är positiva tal mindre än ett.
Skriv som en potens med negativ exponent.

a) $\frac{1}{3 ^{4}}$

b) $\frac{1}{49}$

c) $0, 00001$

Facit

a) $3^{- 4}$

b) $7^{- 2}$

c) $1 0^{- 5}$

a) Regeln baklänges: $\frac{1}{3 ^{4}} = 3^{- 4}$ . b) Skriv först nämnaren som en potens: $49 = 7^{2}$ , så $\frac{1}{7 ^{2}} = 7^{- 2}$ . c) $0, 00001$ är $\frac{1}{100 000} = \frac{1}{1 0 ^{5}} = 1 0^{- 5}$ — fem steg för kommatecknet.
a) Skriv $\frac{5 ^{2}}{5 ^{6}}$ som en enda potens, och sedan som ett bråk.

b) Ordna talen från minst till störst: $2^{- 1}$ , $2^{- 3}$ , $2^{0}$ , $2^{- 2}$ .

Facit

a) $5^{- 4} = \frac{1}{625}$

b) $2^{- 3} < 2^{- 2} < 2^{- 1} < 2^{0}$

a) Divisionslagen: $5^{2 - 6} = 5^{- 4}$ . Det är $\frac{1}{5 ^{4}}$ , och $5^{4} = 625$ . b) Räkna ut varje tal: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ , $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ , $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ och $2^{0} = 1$ . Ju mer negativ exponent, desto mindre tal — men alla är positiva.

Grundpotensform och prefix

Skriv i grundpotensform.

a) $380000$

b) $7200000000$

c) $0, 0052$

d) $0, 0000009$

Facit

a) $3, 8 \cdot 1 0^{5}$

b) $7, 2 \cdot 1 0^{9}$

c) $5, 2 \cdot 1 0^{- 3}$

d) $9 \cdot 1 0^{- 7}$

Flytta kommatecknet tills talet ligger mellan $1$ och $10$ , och räkna stegen. a) Fem steg åt vänster: $3, 8$ och exponenten $5$ . b) Nio steg åt vänster. c) Tre steg åt höger ger negativ exponent: $5, 2 \cdot 1 0^{- 3}$ . d) Sju steg åt höger: $9 \cdot 1 0^{- 7}$ .
Skriv som vanligt tal.

a) $6, 1 \cdot 1 0^{4}$

b) $2, 5 \cdot 1 0^{- 3}$

c) $1, 08 \cdot 1 0^{7}$

Facit

a) $61000$

b) $0, 0025$

c) $10800000$

Positiv exponent: flytta kommatecknet åt höger så många steg, och fyll på med nollor. a) Fyra steg: $61000$ . c) Sju steg: $10800000$ . Negativ exponent: åt vänster. b) Tre steg: $0, 0025$ .
Räkna ut och svara i grundpotensform.

a) $(3 \cdot 1 0^{4}) \cdot (2 \cdot 1 0^{5})$

b) $(4 \cdot 1 0^{6}) \cdot (5 \cdot 1 0^{3})$

c) $\frac{8 \cdot 1 0 ^{7}}{2 \cdot 1 0 ^{3}}$

Facit

a) $6 \cdot 1 0^{9}$

b) $2 \cdot 1 0^{10}$

c) $4 \cdot 1 0^{4}$

Talen för sig, tiopotenserna för sig. a) $3 \cdot 2 = 6$ och $1 0^{4 + 5} = 1 0^{9}$ . b) $4 \cdot 5 = 20$ och $1 0^{6 + 3} = 1 0^{9}$ , alltså $20 \cdot 1 0^{9}$ . Men $20$ ligger inte mellan $1$ och $10$ , så skriv om: $20 \cdot 1 0^{9} = 2 \cdot 1 0^{10}$ . c) $8/2 = 4$ och $1 0^{7 - 3} = 1 0^{4}$ .
a) Ett minneskort rymmer $3$ GB. Hur många byte är det, skrivet med tiopotens?

b) Ett virus är ungefär $250$ nm stort. Skriv storleken i meter i grundpotensform.

c) Ljuset färdas ungefär $3 \cdot 1 0^{8}$ meter per sekund. Hur många kilometer per sekund är det?

Facit

a) $3 \cdot 1 0^{9}$ byte

b) $2, 5 \cdot 1 0^{- 7}$ m

c) $3 \cdot 1 0^{5}$ km/s, alltså $300000$ km/s

a) Giga betyder $1 0^{9}$ . b) Nano betyder $1 0^{- 9}$ , så $250$ nm $= 250 \cdot 1 0^{- 9}$ m. Det är inte grundpotensform, eftersom $250$ är för stort. Skriv $250 = 2, 5 \cdot 1 0^{2}$ och addera exponenterna: $2, 5 \cdot 1 0^{2 + (- 9)} = 2, 5 \cdot 1 0^{- 7}$ m. c) En kilometer är $1 0^{3}$ meter, så dela med $1 0^{3}$ : $3 \cdot 1 0^{8 - 3} = 3 \cdot 1 0^{5}$ km/s.

Kvadratrötter

Räkna ut utan räknare.

a) $49$

b) $144$

c) $1$

d) $0, 25$

Facit

a) $7$

b) $12$

c) $1$

d) $0, 5$

Fråga: vilket positivt tal ger detta när det kvadreras? a) $7^{2} = 49$ . b) $1 2^{2} = 144$ . c) $1^{2} = 1$ . d) $0, 5^{2} = 0, 25$ — roten ur ett tal mellan $0$ och $1$ är större än talet självt.
Mellan vilka två heltal ligger roten, och vilket av dem ligger den närmast?

a) $30$

b) $90$

c) $140$

Facit

a) Mellan $5$ och $6$ , närmast $5$

b) Mellan $9$ och $10$ , ungefär mitt emellan

c) Mellan $11$ och $12$ , närmast $12$

Kläm in talet mellan två kvadrater du känner. a) $25 < 30 < 36$ , så $5 < 30 < 6$ ; $30$ är närmare $25$ . b) $81 < 90 < 100$ ; $90$ ligger nästan mitt emellan, räknaren ger $9, 49$ . c) $121 < 140 < 144$ ; $140$ är nära $144$ , så roten är strax under $12$ — räknaren ger $11, 83$ .
Förklara med en mening var.

a) Varför är $36 = 6$ och inte $- 6$ , trots att $(- 6)^{2}$ också är $36$ ?

b) Varför går det inte att räkna ut $- 25$ bland de reella talen?

Facit

a) Kvadratroten är definierad som det positiva talet.

b) Ingen kvadrat av ett reellt tal är negativ, så inget tal ger $- 25$ när det kvadreras.

a) Både $6$ och $- 6$ ger $36$ i kvadrat, men tecknet betyder alltid det positiva av dem. Annars skulle $36$ vara två tal på en gång. b) Ett positivt tal i kvadrat är positivt, ett negativt tal i kvadrat är också positivt ( $(- 5)^{2} = 25$ ), och $0^{2} = 0$ . Inget av dem blir $- 25$ .

Räkna med kvadratrötter

Räkna ut.

a) $(11)^{2}$

b) $5^{2}$

c) $16 \cdot 25$

d) $\frac{64}{16}$

Facit

a) $11$

b) $5$

c) $20$

d) $2$

a) och b) Kvadrat och rot tar ut varandra. c) $4 \cdot 5 = 20$ , och kontroll: $16 \cdot 25 = 400 = 20$ . d) Antingen $\frac{64}{16} = \frac{8}{4} = 2$ , eller först $\frac{64}{16} = 4$ och sedan $4 = 2$ .
Förenkla med produktregeln, så att det som står under rottecknet blir så litet som möjligt.

a) $18$

b) $75$

c) $200$

Facit

a) $32$

b) $53$

c) $102$

Leta efter den största perfekta kvadraten som delar talet. a) $18 = 9 \cdot 2$ , så $18 = 9 \cdot 2 = 32$ . b) $75 = 25 \cdot 3$ , så $53$ . c) $200 = 100 \cdot 2$ , så $102$ . Kontroll av a): $32 \approx 3 \cdot 1, 414 = 4, 24$ , och $4, 2 4^{2} \approx 18$ .
Sant eller falskt? Räkna ut båda sidorna.

a) $16 + 9 = 16 + 9$

b) $16 \cdot 9 = 16 \cdot 9$

c) $100 - 36 = 10 - 6$

Facit

a) Falskt

b) Sant

c) Falskt

a) Vänster: $25 = 5$ . Höger: $4 + 3 = 7$ . Roten ur en summa kan inte delas upp. b) Vänster: $144 = 12$ . Höger: $4 \cdot 3 = 12$ . Produktregeln gäller. c) Vänster: $64 = 8$ . Höger: $4$ . Samma sak som i a) — regeln gäller för gånger och delat, inte för plus och minus.
a) En kvadratisk fotbollsplan för träning har arean $6400$ m². Hur lång är sidan?

b) Ett kvadratiskt rum har golvarean $12$ m². Mellan vilka heltal ligger sidans längd, och hur skrivs den exakt?

Facit

a) $80$ m

b) Mellan $3$ och $4$ m; exakt $12 = 23$ m, ungefär $3, 46$ m

Arean av en kvadrat är sidan i kvadrat, så sidan är roten ur arean. a) $6400 = 80$ , eftersom $8 0^{2} = 6400$ . b) $9 < 12 < 16$ ger $3 < 12 < 4$ . Exakt: $12 = 4 \cdot 3$ , så $12 = 4 \cdot 3 = 23$ . Med $3 \approx 1, 732$ blir det $3, 46$ m.

Testa dig på Potenser och kvadratrötter Läs kapitlet

← Tillbaka till Matematik