Statistik och sannolikhet

Lägesmått ↑

Ett lägesmått är ett enda tal som ska stå för en hel hög med tal. Det finns tre vanligakällaDe vanligaste lägesmåtten är medelvärde, median och typvärde. (ne.se) Till källsidan →, och de svarar på olika frågor.

Fem elever fick följande poäng på ett prov: $3,5,5,8,14$.

Medelvärdet är summan delat med antalet:

$$\frac{3+5+5+8+14}{5}=\frac{35}{5}=7$$

Medianen är talet i mitten när talen är sorterade i storleksordning. Här är det $5$. Är antalet jämnt finns två tal i mitten, och medianen är medelvärdet av demkällaNär antalet värden är jämnt är medianen medelvärdet av de två mittersta värdena. (ne.se) Till källsidan →: för $2,4,7,9$ är medianen $\frac{4+7}{2}=5,5$.

Typvärdet är det tal som förekommer flest gånger — här $5$.

Varför tre olika? För att de reagerar olika på ovanliga värden. Byt $14$ mot $54$ ovan: medelvärdet rusar till $15$, men medianen är fortfarande $5$. Medelvärdet dras med av det som sticker ut, medianen gör det inte. Därför anger man ofta medianlönkällaLöner anges ofta som medianlön, eftersom medelvärdet dras med av ett fåtal mycket höga eller låga löner. (scb.se) Till källsidan →. Med medelvärdet skulle några få jättelöner få det att se ut som att de flesta tjänar mer än de gör.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Spridningsmått →

Spridningsmått ↑

Två klasser kan ha exakt samma medelvärdeMedelvärdet är summan delat med antalet.Förklaras i avsnittet Lägesmått på ett prov och ändå vara helt olika. I den ena fick alla runt $12$ poäng. I den andra fick hälften $4$ och hälften $20$. LägesmåttetEtt lägesmått är ett enda tal som ska stå för en hel hög med tal.Förklaras i avsnittet Lägesmått säger inget om den skillnaden. Till det behövs ett spridningsmått, ett tal som visar hur utspridda värdena är.

Det enklaste spridningsmåttet är variationsbredden: största värdet minus minsta.

Variationsbredden är ett grovt mått, eftersom den bara bryr sig om det största och det minsta värdet. Men den räcker långt för att avslöja när ett medelvärde döljer något. Ett medelvärde utan spridningsmått är en halv sanning.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Tabeller och diagram →

Tabeller och diagram ↑

En frekvenstabell räknar hur många gånger varje värde förekommer. Diagrammet är sedan ett sätt att se tabellen på en gång istället för att läsa den rad för rad. Olika diagram passar olika frågor:

• Stapeldiagram jämför kategorier: antal elever per favoritämne. Staplarna står fritt från varandra.
• Linjediagram visar utveckling över tid: temperaturen varje timme. Punkterna binds ihop för att förändringen ska synas.
• Cirkeldiagram visar andelar av en helhet. Hela cirkeln är $360°$, så en andel på $25\%$ blir en sektor på $0,25\cdot 360°=90°$.
• Ett histogram visar hur värden fördelar sig i klasser, till exempel längder i intervall om $10$ cm. Staplarna sitter ihop, för klasserna gränsar till varandra.

Ett diagram kan tala sanning och ändå lurakällaStatistik kan presenteras på många sätt och används ibland för att vilseleda. (skolverket.se) Till källsidan →. De vanligaste knepenkällaEtt diagram kan överdriva skillnader med en bruten axel, med olika steg på axlarna eller med staplar och figurer som växer på bredden och inte bara på höjden. (eddler.se)förenkling Kapitlet samlar knepen under tre namn: bruten axel, olika skalor och ytor istället för längder. Till källsidan →:

• Bruten axel. Om $y$-axeln börjar på $95$ istället för $0$ ser stapeln för $99$ ut att vara fyra gånger så hög som stapeln för $96$.
• Olika skalorSkala är förhållandet mellan en längd på en ritning eller karta och samma längd i verkligheten.Förklaras i Geometri › Likformighet och skala. Två diagram som ska jämföras har olika steg på axlarna, så att samma ökning ser stor ut i det ena och liten i det andra.
• Ytor istället för längder. En dubbelt så hög figur som också är dubbelt så bred ser fyra gånger större ut.

Läs alltid axlarna innan du läser staplarna.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Sannolikhet →

Sannolikhet ↑

Ett utfall är ett möjligt resultat av något slumpmässigt. Kastar du en tärning är utfallen $1,2,3,4,5$ och $6$källaEn tärning är en kub med 1, 2, 3, 4, 5 och 6 prickar på sidorna. (ne.se) Till källsidan →. En händelse är det man frågar efter, till exempel "en sexa" eller "ett jämnt tal", och den kan bestå av ett eller flera utfall.

Sannolikheten för en händelse är ett tal mellan $0$ (omöjligt) och $1$ (säkert)källaEn sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1. (ne.se) Till källsidan →. När alla utfall är lika troliga räknas den så härkällaNär alla utfall är lika troliga är sannolikheten för en händelse antalet gynnsamma utfall delat med antalet möjliga utfall. (matteboken.se) Till källsidan →:

$$P(\text{ha¨ndelse})=\frac{\text{antal gynnsamma utfall}}{\text{antal mo¨jliga utfall}}$$

Sannolikheter kan skrivas som bråk, decimaltal eller procent: $\frac{1}{2}=0,5=50\%$.

Komplementet till en händelse är att händelsen inte inträffar. Eftersom händelsen antingen inträffar eller inte inträffar är

$$P(\text{inte }6)=1-P(6)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$

Det är ofta lättare att räkna ut sannolikheten för motsatsen och ta $1$ minus.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Flera händelser i rad →

Flera händelser i rad ↑

När två saker händer efter varandra och den ena inte påverkar den andra, multipliceras sannolikheternakällaNär två händelser inte påverkar varandra är sannolikheten att båda inträffar produkten av deras sannolikheter. (ne.se) Till källsidan →. Två tärningar, båda sexor:

$$P(6\text{ och }6)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$

Ett träddiagram ritar upp alla vägar som försöken kan ta. Från starten går sex grenar för första tärningen, och från var och en går sex grenar för den andra — $36$ vägar totalt, varav en är sexa–sexa.

När flera val görs efter varandra får man antal möjligheter genom att multiplicera antalet alternativ i varje valkällaNär flera val görs efter varandra är antalet möjligheter produkten av antalet alternativ i varje val. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →; regeln kallas multiplikationsprincipen.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Risk, chans och stora talens lag →

Risk, chans och stora talens lag ↑

Sannolikhet säger vad som händer i det långa loppet, inte vad som händer nästa gång. Slår du en tärning sex gånger får du sällan exakt en sexa. Slår du den sex tusen gånger får du väldigt nära tusen sexor. Andelen sexor av alla kast kallas relativ frekvens. Att den relativa frekvensen närmar sig sannolikheten när antalet försök växer kallas de stora talens lag.

Det betyder också att tärningen inte har något minne. Har ett mynt visat krona fem gånger i rad är sannolikheten för krona nästa gång fortfarande $\frac{1}{2}$. Känslan att "nu måste det bli klave" är stark, och fel.

När utfallenEtt utfall är ett möjligt resultat av något slumpmässigt.Förklaras i avsnittet Sannolikhet inte är lika troliga — hur ofta det regnar i juli, hur många i en klass som är vänsterhänta — går det inte att räkna antal gynnsamma utfall delat med antal möjliga. Då uppskattar man sannolikheten med statistikkällaEn sannolikhet kan uppskattas med statistik över hur ofta något har hänt, eller med simuleringar. (skolverket.se) Till källsidan →: räkna hur ofta det hänt förut.

Man kan också uppskatta sannolikheten med en simulering: låt en dator dra slumptal många tusen gånger och se vad andelen blir. En "risk på $1$ på $10000$" är just en sådan uppskattningkällaRisker anges som uppskattningar av formen "1 på 10 000"; en läkemedelsbiverkning som drabbar upp till 1 på 10 000 klassas som mycket sällsynt. (regionuppsala.se, lakartidningen.se) Till källsidan →, och den gäller varje gång, oberoende av vad som hände förra gången.

Källor till det här avsnittet