Statistik och sannolikhet

a) Summan är $6+9+4+9+12+7+9=56$, och $56/7=8$.

b) Sortera först: $4,6,7,9,9,9,12$. Det mittersta av sju tal är det fjärde: $9$.

c) $9$ förekommer tre gånger, inget annat tal mer än en gång.

a) Sorterat: $8,10,12,15,20,25$. Jämnt antal, så medianen är medelvärdet av de två i mitten: $\frac{12+15}{2}=13,5$.

b) Summan är $90$, och $90/6=15$.

Medelvärdet $14$ på fem prov betyder att summan är $5\cdot 14=70$. De fyra kända ger $12+16+11+15=54$. Det femte är $70-54=16$.

a) Tio löner sorterade: nio stycken $28000$ och sist $100000$. De två i mitten (femte och sjätte) är båda $28000$, så medianen är $28000$.

b) Summan är $9\cdot 28000+100000=252000+100000=352000$, och $352000/10=35200$.

c) Medelvärdet ligger över allas lön utom chefens. Det är just därför lönestatistik brukar ange medianlön.

Största värdet minus minsta: $31-9=22$.

a) Grupp A: $10+11+12+13+14=60$, och $60/5=12$. Grupp B: $2+7+12+17+22=60$, och $60/5=12$.

b) Grupp A: $14-10=4$. Grupp B: $22-2=20$.

c) Medelvärdet är detsamma, så det kan inte skilja grupperna åt. Variationsbredden fem gånger så stor i grupp B visar att den gruppen är betydligt mer ojämn.

a) Variationsbredden är största minus minsta, så största värdet är $4+19=23$.

b) Variationsbredden bryr sig bara om de två yttersta värdena. Alla värden däremellan kan ligga nära $4$, nära $23$ eller vara jämnt utspridda, och medelvärdet blir olika i varje fall. Det behövs alla värden, eller åtminstone summan och antalet.

Hela cirkeln $360°$ motsvarar alla $40$ eleverna. Räkna ut andelen och ta den gånger $360°$.

Buss: $\frac{10}{40}=0,25$, och $0,25\cdot 360°=90°$.

Cykel: $\frac{16}{40}=0,4$, och $0,4\cdot 360°=144°$.

Går: $\frac{14}{40}=0,35$, och $0,35\cdot 360°=126°$.

Kontroll: $90+144+126=360$.

a) Utgifterna är andelar av en helhet — hela cirkeln är alla pengar.

b) Längderna delas in i klasser som gränsar till varandra, och då sitter staplarna ihop.

c) Det är en utveckling över tid, och linjen visar förändringen.

d) Partierna är kategorier som jämförs, och staplarna står fritt.

a) Med axeln bruten vid $90$ är staplarnas höjder $92-90=2$ och $98-90=8$. Och $8/2=4$.

b) Skillnaden är $98-92=6$, och den ska jämföras med det första årets värde $92$: $\frac{6}{92}\approx 0,065$, alltså ungefär $6,5\%$. Diagrammet får en måttlig ökning att se ut som en fyrdubbling — läs alltid axlarna först.

Sex möjliga utfall, alla lika troliga.

a) Gynnsamma utfall är $5$ och $6$: $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

b) Gynnsamma utfall är $2,3,4,5,6$: $\frac{5}{6}$.

c) Inget utfall är en sjua. Händelsen är omöjlig, och sannolikheten är $0$.

a) $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$, som är $0,25$ eller $25\%$.

b) $\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$.

c) Komplementet till gul: $1-\frac{7}{20}=\frac{13}{20}$. Eller räkna direkt: $5+8=13$ kulor är inte gula, av $20$.

a) Det finns fyra kungar: $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$.

b) Hälften av korten är svarta (spader och klöver): $\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$.

c) $P(\text{hja¨rter})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$, så $P(\text{inte hja¨rter})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

a) Komplementet: $1-0,3=0,7=70\%$.

b) Fem av åtta fält ger inte vinst: $\frac{5}{8}$. Samma sak som $1-\frac{3}{8}$.

Tärningarna påverkar inte varandra, så sannolikheterna multipliceras.

a) $P(\text{udda})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ för varje tärning: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

b) $\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{36}$.

c) $\frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{25}{36}$.

a) Två grenar i varje steg, fyra steg: $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ vägar.

b) En enda av de $16$ vägarna är krona–krona–krona–krona: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}$.

c) "Minst en klave" är komplementet till "bara krona": $1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$. Det är enklare än att räkna alla vägar med en, två, tre eller fyra klave.

a) Första kulan: $\frac{6}{10}$. Andra kulan, när en gul är borta: $\frac{5}{9}$. Produkten är $\frac{6}{10}\cdot \frac{5}{9}=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}$.

b) Med återläggning är påsen likadan båda gångerna: $\frac{6}{10}\cdot \frac{6}{10}=\frac{36}{100}=\frac{9}{25}$. Det är lite mer än i a), eftersom den gula kulan som togs bort i a) gjorde andra dragningen svårare.

a) $3\cdot 5\cdot 2=30$.

b) Tio val i varje position: $10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10000$.

c) Nio val för den första siffran och tio för var och en av de andra: $9\cdot 10\cdot 10\cdot 10=9000$.

a) $P(6)=\frac{1}{6}$, och $\frac{1}{6}\cdot 600=100$. Med så många kast hamnar antalet nära $100$, men sällan exakt.

b) $14/60\approx 0,23$, mot sannolikheten $\frac{1}{6}\approx 0,17$. Vid bara $60$ kast är sådana avvikelser vanliga. Först när antalet försök blir stort ska den relativa frekvensen ligga nära sannolikheten — det är vad de stora talens lag säger. Hon skulle behöva slå många hundra gånger till innan hon kan misstänka tärningen.

a) Utfallen är inte lika troliga, så sannolikheten går inte att räkna ut med gynnsamma genom möjliga. Den uppskattas med den relativa frekvensen: $\frac{50}{250}=0,2$.

b) Lotteriet har inget minne. Varje lott har sannolikheten $\frac{1}{20}$ oavsett vad de tidigare lotterna gav. Känslan att "nu är det dags" är stark, och fel.