Geometri

Omkrets, area och enheter ↑

Omkretsen är sträckan runt en figur. Arean är ytan innanför. Formlerna du behöver:

Höjden i en triangel är det vinkelräta avståndet från basen till motstående hörnkällaHöjden i en triangel är det vinkelräta avståndet från ett hörn till motstående sida, basen. (ne.se)förenkling Kapitlet tar inte upp att höjden i en trubbvinklig triangel kan hamna utanför triangeln, på basens förlängning. Till källsidan → — inte sidan, om sidan lutar.

Talet $\pi \approx 3,14$ är en cirkels omkrets delat med dess diameter, och det är detsamma för alla cirklar.källaTalet π, ungefär 3,14, är en cirkels omkrets delat med dess diameter, och det är detsamma för alla cirklar. (ne.se)förenkling Kapitlet avrundar till 3,14, som NE skriver är det vanliga; talet har oändligt många decimaler. Till källsidan → En cirkel med diametern $10$ cm har omkretsen $10\pi \approx 31,4$ cm och arean $\pi \cdot 5^2=25\pi \approx 78,5$ cm².

Många halkar när de ska byta enhet för area. $1$ m $=100$ cm, men $1$ m² är en kvadrat med sidan $100$ cm, alltså $100\cdot 100=10000$ cm².källa1 m är 100 cm, och 1 m² är en kvadrat med sidan 100 cm, alltså 100 · 100 = 10 000 cm². (nist.gov, nist.gov) Till källsidan → Talet du byter med, $100$, ska alltså kvadreras:

$$3{\text{ m}}^2=3\cdot 10000{\text{ cm}}^2=30000{\text{ cm}}^2$$

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Pythagoras sats →

Pythagoras sats ↑

I en rätvinklig triangel kallas den längsta sidan, mitt emot den räta vinkeln, hypotenusa. De två sidorna som bildar den räta vinkeln i en rätvinklig triangel kallas kateter.

Pythagoras sats säger:

$$a^2+b^2=c^2$$

där $a$ och $b$ är kateterna och $c$ hypotenusan. Kvadraten på hypotenusan är summan av kvadraterna på kateterna.källaI en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan summan av kvadraterna på kateterna: $a^2+b^2=c^2$, där $a$ och $b$ är kateterna och $c$ hypotenusan. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →

Varför gäller den? Rita en kvadrat med sidan $a+b$ och lägg fyra kopior av triangeln i hörnen. Det som blir kvar i mitten är en kvadrat med sidan $c$.

Räknar man hela kvadratens area på två sätt — som $(a+b{)}^2$ och som fyra trianglar plus $c^2$ — och förenklar, står $a^2+b^2=c^2$ kvar. Satsen är inte en regel någon bestämt; den följer av hur areor fungerar.

Satsen kan också testa om en triangel är rätvinklig.källaSatsen gäller också baklänges: en triangel med sidorna $a$, $b$ och $c$ är rätvinklig om och bara om $a^2+b^2=c^2$. Därför kan den testa om en triangel är rätvinklig. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → Sidorna $5$, $12$, $13$: $25+144=169=13^2$, alltså rätvinklig. Sidorna $4$, $5$, $6$: $16+25=41\ne 36$, alltså inte.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Likformighet och skala →

Likformighet och skala ↑

Två figurer är likformiga om de har samma form men inte nödvändigtvis samma storlek: alla vinklar är lika, och alla sidor är förstorade eller förminskade med samma faktor. Likformiga figurer som dessutom är lika stora, med faktorn $1$, kallas kongruenta.

Skala är förhållandet mellan en längd på en ritning eller karta och samma längd i verkligheten. Skala $1:100$ betyder att $1$ cm på ritningen är $100$ cm $=1$ m i verkligheten. En vägg som är $3$ cm på ritningen är $3$ m på riktigt. Skala $2:1$ är en förstoring: allt ritas dubbelt så stort.

Skalan gäller längder. Areor och volymerVolym är hur mycket något rymmer, mätt i kuber.Förklaras i avsnittet Volym och volymenheter ändras mer:

• Blir alla längder $k$ gånger så stora, blir areor $k^2$ gånger så stora och volymer $k^3$ gånger så stora.källaBlir alla längder $k$ gånger så stora, blir areor $k^2$ gånger så stora och volymer $k^3$ gånger så stora: areaskalan är längdskalan i kvadrat och volymskalan längdskalan i kubik. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Volym och volymenheter →

Volym och volymenheter ↑

Volym är hur mycket något rymmer, mätt i kuber. $1$ cm³ är en kub med sidan $1$ cm. Enhetsbytena följer samma mönster som för area, men nu kuberas talet du byter med:källaVolymenheterna byts som areaenheterna, men talet man byter med kuberas: 1 dm är 10 cm, så 1 dm³ är 10 · 10 · 10 = 1 000 cm³, och 1 m³ är 1 000 dm³. (nist.gov, nist.gov) Till källsidan →

$$1{\text{ dm}}^3=10\cdot 10\cdot 10{\text{ cm}}^3=1000{\text{ cm}}^{3}1{\text{ m}}^3=1000{\text{ dm}}^3$$

Volymenheterna hänger ihop med måtten för vätskor, och det gör dem lättare att känna igen:

• $1$ liter $=1$ dm³källa1 liter är 1 dm³, och 1 m³ är 1 000 liter. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → — ett mjölkpaket är ungefär en kubikdecimeter.
• $1$ milliliter $=1$ cm³källa1 milliliter är en tusendels liter, 1 cm³. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → — ungefär en sockerbit.
• $1$ m³ $=1000$ liter.källa1 liter är 1 dm³, och 1 m³ är 1 000 liter. (sv.wikipedia.org) Till källsidan →

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Rätblock, prismor och cylindrar →

Rätblock, prismor och cylindrar ↑

Ett prisma är en kropp med två likadana, parallella ändytor och raka sidor emellan — som en låda eller en Toblerone-förpackning. Ändytan som prismat står på kallas basytan. Ett rätblock är ett prisma med en rektangel som basyta.källaEtt rätblock är ett prisma med en rektangel som basyta, och volymen är $l\cdot b\cdot h$. (sv.wikipedia.org)förenkling Wikipedia definierar rätblocket som en rätvinklig parallellepiped; kapitlet säger ett prisma med en rektangel som basyta, vilket är samma kropp. Till källsidan → En cylinder, som en burk, är byggd på samma sätt men har cirklar som ändytor och en böjd sida emellan.källaEn cylinder har två parallella cirklar som ändytor och en böjd sida, mantelytan, emellan. (ne.se)förenkling Kapitlet visar bara den raka cirkulära cylindern och kallar mantelytan "en böjd sida". Till källsidan →

Basytan $B$ är en area, och den räknas ut med areaformlerna från första avsnittet: för en rektangel $l\cdot b$, för en cirkel $\pi r^2$, för en triangel $\frac{b\cdot h}{2}$. Basytan mäts alltså i cm² eller m², precis som vilken area som helst.

För alla prismor, och för cylindern, gäller sedan samma formel:källaVolymen av ett prisma, och av en cylinder, är basytan gånger höjden: $V=B\cdot h$. För cylindern blir det $V=\pi r^{2}h$. (sv.wikipedia.org, ne.se, matteboken.se) Till källsidan →

$$V=B\cdot h$$

— basytan gånger höjden, där höjden är avståndet mellan de två ändytorna. Tänk dig att du staplar skivor på varandra: varje centimeter höjd lägger till en skiva med arean $B$.

Tänk efter om svaret är rimligt. Burken har diametern $1$ dm och höjden $1$ dm, så den får plats i en kub med sidan $1$ dm. Kuben rymmer $1$ liter, och burken bör rymma lite mindre. Svaret $0,8$ liter stämmer.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Pyramider, koner och klot →

Pyramider, koner och klot ↑

En pyramid har en basytaÄndytan som prismat står på kallas basytan.Förklaras i avsnittet Rätblock, prismor och cylindrar och sidor som möts i en spets. En kon är en kropp med en cirkel som basyta och en sida som smalnar av till en spets. Basytan $B$ räknas ut precis som förut — en area — och höjden $h$ är avståndet från spetsen rakt ner till basytan. Båda rymmer exakt en tredjedel av prismat eller cylindern med samma basyta och höjd.källaEn pyramid eller en kon rymmer en tredjedel av prismat eller cylindern med samma basyta och höjd: $V=\frac{B\cdot h}{3}$, där höjden är det vinkelräta avståndet från spetsen till basytan. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org) Till källsidan → VolymenVolym är hur mycket något rymmer, mätt i kuber.Förklaras i avsnittet Volym och volymenheter är alltså basytan gånger höjden, delat med tre:

$$V=\frac{B\cdot h}{3}$$

Det går att se med vatten: fyll en kon och häll över i en cylinder med samma botten och höjd — det krävs tre koner för att fylla den.

Ett klot har varken basTalet som upprepas i en potens, här $2$, kallas bas.Förklaras i Potenser och kvadratrötter › Vad en potens är eller höjd, bara en radie. Formlerna för klotets volym $V$ och för arean $A$ av klotets ytakällaEtt klot med radien $r$ har volymen $V=\frac{4\pi r^3}{3}$ och ytan $A=4\pi r^2$. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → är värda att kunna utantill:

$$V=\frac{4\pi r^3}{3}A=4\pi r^2$$

Källor till det här avsnittet