Geometri

a) $2\cdot 12+2\cdot 7=24+14=38$ cm och $12\cdot 7=84$ cm². b) $\frac{14\cdot 6}{2}=\frac{84}{2}=42$ cm². c) $9\cdot 4=36$ cm² — parallellogrammet har ingen halvering, det är bara triangeln som är halva rektangeln.

a) $O=2\pi r=2\cdot 3,14\cdot 4=25,12\approx 25,1$ cm. b) $A=\pi r^2=3,14\cdot 4^2=3,14\cdot 16=50,24\approx 50,2$ cm². Kontroll av enheterna: omkretsen är en sträcka (cm), arean en yta (cm²).

Faktorn för längd kvadreras. a) $1$ m² $=100\cdot 100=10000$ cm², så $2,5\cdot 10000=25000$ cm². b) $1$ dm² $=10\cdot 10=100$ cm², så $7\cdot 100=700$ cm². c) Åt andra hållet delar du: $45000/10000=4,5$ m².

a) $c^2=9^2+12^2=81+144=225$, så $c=\sqrt{225}=15$ cm. b) Hypotenusan är känd, så subtrahera: $b^2=17^2-8^2=289-64=225$, så $b=15$ cm. Att båda blir $15$ är en slump — det är två olika trianglar.

Den längsta sidan är den enda som kan vara hypotenusa. a) $7^2+24^2=49+576=625$ och $25^2=625$. Lika, alltså rätvinklig. b) $6^2+7^2=36+49=85$ men $9^2=81$. Inte lika, alltså inte rätvinklig.

Väggen, marken och stegen bildar en rätvinklig triangel där stegen är hypotenusan, $6,5$ m, och avståndet på marken är en katet, $2,5$ m. Höjden är den andra kateten: $h^2=6,5^2-2,5^2=42,25-6,25=36$, så $h=\sqrt{36}=6$ m.

a) $1$ cm på ritningen är $50$ cm i verkligheten, så $4\cdot 50=200$ cm $=2$ m. b) Åt andra hållet delar du: $6$ m $=600$ cm, och $600/50=12$ cm.

Solstrålarna är parallella, så trianglarna är likformiga och höjd och skugga står i samma förhållande: $\frac{h}{16}=\frac{1,5}{2}$. Då är $h=\frac{1,5\cdot 16}{2}=\frac{24}{2}=12$ m. Kontroll: pinnen är $0,75$ gånger sin skugga, och $0,75\cdot 16=12$.

a) Kortaste sidan har gått från $3$ till $9$: faktorn är $9/3=3$. b) Alla sidor förstoras med samma faktor: $4\cdot 3=12$ cm och $5\cdot 3=15$ cm. c) Omkretsen är en längd, så den växer med samma faktor som sidorna: från $12$ cm till $36$ cm, alltså $3$ gånger. Arean hade växt $3^2=9$ gånger.

a) $8$ m $=800$ cm, och $800/20=40$ cm. b) Längder $/20$ ger areor $/20^2=400$: $100/400=0,25$ m² $=0,25\cdot 10000=2500$ cm². Kontroll: ett golv på $10\times 10$ m blir $50\times 50$ cm $=2500$ cm². c) Volymer ändras med $20^3=8000$.

a) $1$ dm³ $=1000$ cm³, så $3\cdot 1000=3000$ cm³. b) $1$ m³ $=1000$ dm³ $=1000$ liter, så $2$ m³ $=2000$ liter. c) $1$ cm³ $=1$ ml, så $500$ cm³ $=500$ ml $=5$ dl.

a) Kuben rymmer $2\cdot 2\cdot 2=8$ kuber med sidan $1$ dm, alltså $8$ dm³. b) Varje dm³ är $1000$ cm³: $8\cdot 1000=8000$ cm³. Samma sak som $20\cdot 20\cdot 20$. c) $1$ liter $=1$ dm³, så $8$ liter.

a) $1$ m³ $=1000$ liter, så $0,3\cdot 1000=300$ liter. b) $300/10=30$ hinkar. Rimligt: ett badkar är ungefär trettio hinkar, inte tre och inte trehundra.

a) Basytan är rektangeln $6\times 3$: $B=6\cdot 3=18$ cm². b) Höjden är den återstående sidan, $12$ cm: $V=B\cdot h=18\cdot 12=216$ cm³. Det spelar ingen roll vilken sida du kallar basyta — $6\cdot 12\cdot 3$ ger också $216$.

a) Basytan är cirkeln: $B=\pi r^2=3,14\cdot 16=50,24$ cm². Volymen: $V=B\cdot h=50,24\cdot 10=502,4\approx 502$ cm³. b) $1000$ cm³ är en liter, så $502$ cm³ är ungefär en halv liter — ungefär en och en halv läskburk.

Basytan är triangelns area: $B=\frac{6\cdot 4}{2}=12$ cm². Prismats höjd är avståndet mellan ändytorna, alltså längden $20$ cm: $V=B\cdot h=12\cdot 20=240$ cm³. Det vanliga felet är att glömma halveringen i triangelns area och få $480$.

Räkna baklänges från volymen. $30$ liter $=30$ dm³ $=30000$ cm³. Basytan är $B=40\cdot 25=1000$ cm². Eftersom $V=B\cdot h$ är $h=V/B=30000/1000=30$ cm. Kontroll: $40\cdot 25\cdot 30=30000$.

Basytan är cirkeln: $B=3,14\cdot 6^2=3,14\cdot 36=113,04$ cm². Konen rymmer en tredjedel av cylindern med samma bas och höjd: $V=\frac{B\cdot h}{3}=\frac{113,04\cdot 5}{3}=\frac{565,2}{3}=188,4\approx 188$ cm³.

a) $B=6\cdot 6=36$ cm². b) $V=\frac{B\cdot h}{3}=\frac{36\cdot 10}{3}=\frac{360}{3}=120$ cm³. c) Rätblocket har ingen tredjedel: $V=36\cdot 10=360$ cm³. Pyramiden är exakt en tredjedel av det.

a) $V=\frac{\pi r^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 9\cdot 12}{3}=\frac{108\pi }{3}=36\pi \approx 113$ cm³. b) $V=\frac{4\pi r^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 27}{3}=36\pi \approx 113$ cm³. c) Samma tal, så den smälta kulan fyller struten exakt. Det gäller när höjden är fyra gånger radien: $\frac{\pi r^2\cdot 4r}{3}=\frac{4\pi r^3}{3}$. d) $A=4\pi r^2=4\pi \cdot 9=36\pi \approx 113$ cm² — samma siffror igen, men en yta i cm², inte en volym.