Övningar · Uttryck, ekvationer och funktioner · Matematik · Årskurs 9 · Grundskolan

Uttryck med variabler

Räkna ut värdet av uttrycket.

a) $4 x - 3$ när $x = 5$

b) $2 x^{2}$ när $x = 3$

c) $20 - 3 x$ när $x = 6$

Facit

a) $17$

b) $18$

c) $2$

Sätt in talet i stället för $x$ . a) $4 \cdot 5 - 3 = 20 - 3 = 17$ . b) Potensen först: $3^{2} = 9$ , sedan $2 \cdot 9 = 18$ . c) $20 - 3 \cdot 6 = 20 - 18 = 2$ .
Förenkla genom att slå ihop lika termer.

a) $7 x + 3 - 2 x + 8$

b) $4 x - 9 - 6 x + 2$

c) $x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - x$

Facit

a) $5 x + 11$

b) $- 2 x - 7$

c) $3 x^{2} + 2 x$

$x$ -termer för sig, tal för sig. a) $7 x - 2 x = 5 x$ och $3 + 8 = 11$ . b) $4 x - 6 x = - 2 x$ och $- 9 + 2 = - 7$ . c) Här finns tre sorter: $x^{2} + 2 x^{2} = 3 x^{2}$ och $3 x - x = 2 x$ . $x^{2}$ -termer och $x$ -termer kan inte slås ihop med varandra.
Skriv så enkelt som möjligt.

a) $4 x \cdot 5 x$

b) $3 x^{2} + 3 x^{2}$

c) $x \cdot x \cdot x$

Facit

a) $20 x^{2}$

b) $6 x^{2}$

c) $x^{3}$

a) Koefficienterna gånger varandra, $4 \cdot 5 = 20$ , och $x \cdot x = x^{2}$ . b) Addition slår ihop: två stycken $3 x^{2}$ är $6 x^{2}$ , inte $6 x^{4}$ . c) Multiplikation adderar exponenter: $x^{1} \cdot x^{1} \cdot x^{1} = x^{3}$ .
En biobiljett kostar $120$ kr, och bokningen kostar dessutom $40$ kr oavsett hur många biljetter man köper.

a) Skriv ett uttryck för vad $x$ biljetter kostar.

b) Räkna ut kostnaden för $3$ biljetter.

Facit

a) $120 x + 40$

b) $400$ kr

a) Varje biljett kostar $120$ kr, så $x$ biljetter kostar $120 x$ . Avgiften $40$ läggs till en gång. b) $120 \cdot 3 + 40 = 360 + 40 = 400$ kr.

Parenteser

Skriv utan parentes.

a) $5 (x + 3)$

b) $2 (3 x - 4)$

c) $x (x + 6)$

Facit

a) $5 x + 15$

b) $6 x - 8$

c) $x^{2} + 6 x$

Talet framför parentesen multipliceras med varje term inuti. a) $5 \cdot x + 5 \cdot 3$ . b) $2 \cdot 3 x - 2 \cdot 4$ . c) $x \cdot x + x \cdot 6 = x^{2} + 6 x$ . Kontroll av c) med $x = 1$ : vänster sida $1 \cdot 7 = 7$ , höger sida $1 + 6 = 7$ .
Förenkla.

a) $8 - (x + 3)$

b) $4 x - (2 x - 5)$

c) $3 (x + 2) - 2 (x - 1)$

Facit

a) $5 - x$

b) $2 x + 5$

c) $x + 8$

Minus framför parentesen byter tecken på allt inuti. a) $8 - x - 3 = 5 - x$ . b) $4 x - 2 x + 5 = 2 x + 5$ . c) Lös upp båda: $3 x + 6 - 2 x + 2$ . Lägg märke till att $- 2 \cdot (- 1)$ blir $+ 2$ . Sedan $3 x - 2 x = x$ och $6 + 2 = 8$ .
Faktorisera genom att lyfta ut den största gemensamma faktorn.

a) $4 x + 12$

b) $10 x - 15$

c) $x^{2} + 7 x$

Facit

a) $4 (x + 3)$

b) $5 (2 x - 3)$

c) $x (x + 7)$

Leta efter något som finns i båda termerna. a) $4$ finns i både $4 x$ och $12$ : $4 \cdot x + 4 \cdot 3$ . b) $5$ finns i både $10 x$ och $15$ . c) Båda termerna har ett $x$ : $x \cdot x + x \cdot 7$ . Kontrollera genom att multiplicera in igen.
a) Multiplicera ihop $(x + 1) (x + 5)$ .

b) Multiplicera ihop $(x + 3) (x - 2)$ .

c) Hitta felet. Någon förenklar $6 - (2 x - 4)$ så här: $6 - 2 x - 4 = 2 - 2 x$ . Vad blev fel, och vad är rätt svar?

Facit

a) $x^{2} + 6 x + 5$

b) $x^{2} + x - 6$

c) Minustecknet byttes bara på första termen. Rätt: $6 - 2 x + 4 = 10 - 2 x$ .

a) Varje term i första parentesen gånger varje term i andra: $x^{2} + 5 x + x + 5 = x^{2} + 6 x + 5$ . b) $x^{2} - 2 x + 3 x - 6 = x^{2} + x - 6$ . c) Minus framför parentesen gäller båda termerna, så $- 4$ blir $+ 4$ . Kontroll med $x = 1$ : $6 - (2 - 4) = 6 - (- 2) = 8$ , och $10 - 2 \cdot 1 = 8$ . Det felaktiga svaret ger $2 - 2 = 0$ .

Ekvationer

Lös ekvationerna och kontrollera genom att sätta in svaret.

a) $4 x + 7 = 31$

b) $2 x - 9 = 15$

c) $30 - 5 x = 5$

Facit

a) $x = 6$

b) $x = 12$

c) $x = 5$

Gör samma sak på båda sidor. a) Minus $7$ : $4 x = 24$ , dela med $4$ : $x = 6$ . Kontroll: $4 \cdot 6 + 7 = 31$ . b) Plus $9$ : $2 x = 24$ , så $x = 12$ . Kontroll: $24 - 9 = 15$ . c) Minus $30$ : $- 5 x = - 25$ , dela med $- 5$ : $x = 5$ . Kontroll: $30 - 25 = 5$ .
Här står $x$ på båda sidor. Lös ekvationerna.

a) $7 x - 4 = 3 x + 16$

b) $2 x + 11 = 5 x - 7$

Facit

a) $x = 5$

b) $x = 6$

Samla $x$ -termerna på ena sidan först. a) Minus $3 x$ : $4 x - 4 = 16$ , plus $4$ : $4 x = 20$ , så $x = 5$ . Kontroll: $7 \cdot 5 - 4 = 31$ och $3 \cdot 5 + 16 = 31$ . b) Minus $2 x$ : $11 = 3 x - 7$ , plus $7$ : $18 = 3 x$ , så $x = 6$ . Kontroll: $2 \cdot 6 + 11 = 23$ och $5 \cdot 6 - 7 = 23$ .
Lös ekvationerna med parenteser.

a) $3 (x + 2) = 27$

b) $4 (2 x - 1) = 2 x + 14$

Facit

a) $x = 7$

b) $x = 3$

a) Här går det att dela båda sidor med $3$ direkt: $x + 2 = 9$ , så $x = 7$ . Kontroll: $3 \cdot 9 = 27$ . b) Lös upp parentesen: $8 x - 4 = 2 x + 14$ . Minus $2 x$ : $6 x - 4 = 14$ . Plus $4$ : $6 x = 18$ , så $x = 3$ . Kontroll: $4 \cdot (6 - 1) = 20$ och $2 \cdot 3 + 14 = 20$ .
a) Lös $x^{2} = 81$ .

b) Lös $x^{2} - 5 = 20$ .

c) Elin köper tre likadana tröjor på nätet och betalar $45$ kr i frakt. Totalt kostar det $495$ kr. Teckna en ekvation för vad en tröja kostar, och lös den.

Facit

a) $x = 9$ eller $x = - 9$

b) $x = 5$ eller $x = - 5$

c) $3 x + 45 = 495$ , så $x = 150$ . En tröja kostar $150$ kr.

a) Både $9^{2}$ och $(- 9)^{2}$ är $81$ , så det finns två lösningar: $x = \pm 9$ . b) Plus $5$ på båda sidor ger $x^{2} = 25$ , så $x = \pm 5$ . c) Låt en tröja kosta $x$ kr. Tre tröjor och frakten ska bli $495$ : $3 x + 45 = 495$ . Minus $45$ : $3 x = 450$ . Dela med $3$ : $x = 150$ . Kontroll: $3 \cdot 150 + 45 = 495$ .

Koordinatsystem och räta linjen

Linjen $y = 3 x - 2$ .

a) Gör en tabell med $y$ -värdena för $x = 0$ , $1$ , $2$ och $3$ .

b) Vad är $k$ och vad är $m$ ?

c) Ligger punkten $(4, 10)$ på linjen?

Facit

a) $y = - 2$ , $1$ , $4$ , $7$

b) $k = 3$ , $m = - 2$

c) Ja

a) Sätt in varje $x$ : $3 \cdot 0 - 2 = - 2$ , $3 \cdot 1 - 2 = 1$ , $3 \cdot 2 - 2 = 4$ , $3 \cdot 3 - 2 = 7$ . Varje steg åt höger ger $3$ steg upp. b) Jämför med $y = k x + m$ : talet framför $x$ är $k = 3$ , det ensamma talet är $m = - 2$ . Linjen skär $y$ -axeln i $(0, - 2)$ . c) Sätt in $x = 4$ : $3 \cdot 4 - 2 = 10$ . Det stämmer med punktens $y$ -värde, så punkten ligger på linjen.
Räkna ut lutningen $k$ för linjen genom punkterna.

a) $(1, 2)$ och $(3, 8)$

b) $(0, 5)$ och $(4, 1)$

c) $(2, 4)$ och $(6, 4)$

Facit

a) $k = 3$

b) $k = - 1$

c) $k = 0$

$k = \frac{Δ y}{Δ x}$ , skillnaden i $y$ delat med skillnaden i $x$ . a) $\frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ . b) $\frac{1 - 5}{4 - 0} = \frac{- 4}{4} = - 1$ . Linjen lutar nedåt. c) $\frac{4 - 4}{6 - 2} = \frac{0}{4} = 0$ . Båda punkterna har samma $y$ , så linjen är vågrät.
En rät linje skär $y$ -axeln i $(0, 4)$ och går genom punkten $(2, 10)$ . Skriv linjens ekvation på formen $y = k x + m$ .

Facit

$y = 3 x + 4$

Skärningen med $y$ -axeln ger $m$ direkt: $m = 4$ . Lutningen från de två punkterna: $k = \frac{10 - 4}{2 - 0} = \frac{6}{2} = 3$ . Kontroll: $x = 2$ ger $3 \cdot 2 + 4 = 10$ .
Här är fyra linjer: $y = 2 x + 3$ , $y = - 2 x + 3$ , $y = 2 x - 7$ och $y = 3 x + 3$ .

a) Vilka två är parallella?

b) Vilka två skär $y$ -axeln i samma punkt som $y = 2 x + 3$ ?

c) Vilken lutar nedåt?

Facit

a) $y = 2 x + 3$ och $y = 2 x - 7$

b) $y = - 2 x + 3$ och $y = 3 x + 3$

c) $y = - 2 x + 3$

a) Parallella linjer har samma $k$ . Två av linjerna har $k = 2$ . b) Skärningen med $y$ -axeln är $m$ . $y = 2 x + 3$ har $m = 3$ , och det har också $y = - 2 x + 3$ och $y = 3 x + 3$ . c) Negativt $k$ betyder att linjen går nedåt när $x$ ökar.

Funktioner

Ett gym tar $200$ kr i månadsavgift och dessutom $25$ kr per träningspass.

a) Skriv en formel för månadskostnaden $y$ kr när man tränar $x$ pass.

b) Vad kostar en månad med $8$ pass?

c) Hur många pass har man tränat om månaden kostade $500$ kr?

Facit

a) $y = 25 x + 200$

b) $400$ kr

c) $12$ pass

a) Passen kostar $25 x$ och månadsavgiften $200$ läggs till en gång. b) $25 \cdot 8 + 200 = 200 + 200 = 400$ kr. c) Lös $25 x + 200 = 500$ : minus $200$ ger $25 x = 300$ , dela med $25$ ger $x = 12$ . Kontroll: $25 \cdot 12 + 200 = 500$ .
En cykeluthyrning tar betalt enligt $y = 40 x + 60$ , där $y$ är priset i kronor och $x$ är antalet timmar.

a) Vad betyder talet $60$ i verkligheten?

b) Vad betyder talet $40$ ?

c) Vad kostar det att hyra i $4$ timmar?

d) Hur länge kan man hyra för $300$ kr?

Facit

a) En fast avgift på $60$ kr, som man betalar även för noll timmar

b) Priset per timme, $40$ kr — förändringstakten

c) $220$ kr

d) $6$ timmar

a) $60$ är $m$ , värdet när $x = 0$ : det man betalar innan man cyklat en enda timme. b) $40$ är $k$ , lutningen: varje extra timme gör priset $40$ kr högre. c) $40 \cdot 4 + 60 = 160 + 60 = 220$ kr. d) Lös $40 x + 60 = 300$ : $40 x = 240$ , så $x = 6$ . Kontroll: $40 \cdot 6 + 60 = 300$ .
Vilka av sambanden är proportionaliteter? Motivera.

a) $y = 7 x$

b) $y = 7 x + 7$

c) Äpplen kostar $12$ kr per kilo, och $y$ är priset för $x$ kilo.

d) Om $y$ är proportionell mot $x$ och $x = 5$ ger $y = 35$ : vad ger $x = 10$ ?

Facit

a) Ja

b) Nej

c) Ja, $y = 12 x$

d) $y = 70$

En proportionalitet är en rät linje genom origo: $y = k x$ utan $m$ . a) $m = 0$ , så ja. b) $x = 0$ ger $y = 7$ , inte $0$ — linjen går inte genom origo. c) Noll kilo kostar noll kronor och priset växer jämnt: $y = 12 x$ . d) Dubbla $x$ ger dubbla $y$ : $2 \cdot 35 = 70$ . Eller räkna ut $k$ först: $k = 35/5 = 7$ , så $y = 7 \cdot 10 = 70$ .
Tabellen visar ett samband mellan $x$ och $y$ .

$x$ $0$ $1$ $2$ $3$

$y$ $12$ $15$ $18$ $21$

a) Skriv sambandet som en formel $y = k x + m$ .

b) Är det en proportionalitet?

c) Vad är $y$ när $x = 10$ ?

Facit

a) $y = 3 x + 12$

b) Nej

c) $y = 42$

a) $m$ är värdet när $x = 0$ , alltså $12$ . $k$ är hur mycket $y$ ökar per steg i $x$ : från $12$ till $15$ är $3$ , och samma varje steg. Kontroll: $x = 3$ ger $3 \cdot 3 + 12 = 21$ . b) Linjen går genom $(0, 12)$ , inte origo, så nej. c) $3 \cdot 10 + 12 = 42$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$12$	$15$	$18$	$21$

Testa dig på Uttryck, ekvationer och funktioner Läs kapitlet

← Tillbaka till Matematik