Omkrets och area

Vad omkrets är ↑

Tänk dig att du går runt en fotbollsplan, precis längs linjen. SträckanDra rakt mellan två punkter så får du en sträcka.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Punkter, sträckor och vinklar du går är planens omkrets. Omkretsen är alltså hur långt det är runt en figur, hela vägen tillbaka till där du började.

Omkretsen är en sträcka, så den mäts med samma enheter som längd: centimeter (cm) eller meter (m).källaOmkretsen är en längd och mäts i längdenheter, till exempel centimeter (cm) och meter (m). (sv.wikipedia.org, matteboken.se, nist.gov, sv.wikipedia.org) Till källsidan → Du mäter den med en linjal eller ett måttband.

För att räkna ut omkretsen lägger du ihop längden på alla sidor.källaOmkretsen av en figur med raka sidor är alla sidornas längder tillsammans. (matteboken.se) Till källsidan → Titta på figuren i bilden. Det är en rektangel: en figur med fyra sidor, där alla hörn är rätakällaEn rektangel är en figur med fyra sidor där alla hörn är räta. (ne.se) Till källsidan → — de ser ut som hörnen på ett papper. Den här rektangelnRektangel: alla fyra vinklarna är räta, men sidorna är lika långa bara två och två.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Fyrhörningar har två sidor som är $6$ cm och två sidor som är $4$ cm.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Omkretsen av rektanglar, kvadrater och trianglar →

Omkretsen av rektanglar, kvadrater och trianglar ↑

I en rektangel är sidorna mitt emot varandra alltid lika långa.källaI en rektangel är sidorna mitt emot varandra lika långa. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → Det gör att du inte behöver mäta alla fyra sidor — det räcker med två. Sidan som är längst kallas längden och den kortare kallas bredden.

Omkretsen av en rektangel är alltså två gånger längden plus två gånger bredden.källaOmkretsen av en rektangel är två gånger längden plus två gånger bredden. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org, webbmatte.se)förenkling Källorna skriver O = 2b + 2h eller p = 2(a + b), med bas och höjd eller a och b. Kapitlet säger längden och bredden, skolans vardagsord för rektangelns sidor, och skriver regeln med ord i stället för bokstäver. Till källsidan →

En kvadrat är en rektangel där alla fyra sidor är lika långa.källaEn kvadrat är en rektangel där alla fyra sidor är lika långa. (ne.se, sv.wikipedia.org) Till källsidan → Då blir det ännu enklare: omkretsen är $4$ gånger sidan.källaOmkretsen av en kvadrat är fyra gånger sidan. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org) Till källsidan →

En triangel har tre sidor, och de kan vara olika långa.källaEn triangel har tre sidor, och de kan vara olika långa. (ne.se) Till källsidan → Då finns ingen genväg — lägg ihop alla tre.källaOmkretsen av en triangel är summan av de tre sidorna. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org) Till källsidan →

Är alla tre sidorna lika långa kan du ta $3$ gånger sidan, precis som du tar $4$ gånger sidan för en kvadrat.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Vad area är →

Vad area är ↑

OmkretsenOmkretsen är alltså hur långt det är runt en figur, hela vägen tillbaka till där du började.Förklaras i avsnittet Vad omkrets är säger hur långt det är runt om. Men den säger inget om hur stor figuren är innanför linjen. Det gör arean. Arean är hur stor ytan är — hur mycket golv, papper eller gräs som finns innanför kantenEn kant är linjen där två sidoytor möts.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Tredimensionella kroppar.

Area mäter du inte med linjal utan genom att räkna rutor.källaArean mäts genom att man fyller figuren med lika stora rutor och räknar dem. (matteboken.se, matteboken.se) Till källsidan → Rutan man använder är en kvadratKvadrat: alla fyra sidorna är lika långa och alla fyra vinklarna är räta.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Fyrhörningar med sidan $1$ cm. Arean av en kvadrat med sidan $1$ cm kallas en kvadratcentimeter, och den skrivs $1{\text{cm}}^2$.

Den lilla tvåan uppe till höger betyder "kvadrat". Den betyder inte "gånger två".källaTvåan i cm² betyder att centimetern tas i kvadrat. Den betyder inte gånger två. (nist.gov, en.wikipedia.org) Till källsidan → ${\text{cm}}^2$ läser du alltså som "kvadratcentimeter", och det är enhetenDärför har alla kommit överens om enheter: mått som är exakt lika stora för alla.Förklaras i Enheter och tid › Längd för en yta, precis som cm är enheten för en sträckaDra rakt mellan två punkter så får du en sträcka.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Punkter, sträckor och vinklar.

För stora ytor, som golv och fotbollsplaner, används en större ruta. Arean av en kvadrat med sidan $1$ meter kallas en kvadratmeter, och den skrivs $1{\text{m}}^2$. Det är ungefär så stort som ett litet bord för två personer. Det finns fler enheter för area än de här tvåkällaDet finns fler enheter för area än kvadratcentimeter och kvadratmeter, till exempel kvadratmillimeter och kvadratkilometer. (sv.wikipedia.org, en.wikipedia.org) Till källsidan →, men dem lär du dig senare.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Rektangelns och kvadratens area →

Rektangelns och kvadratens area ↑

Att räkna rutor en och en tar tid. Titta på rutnätet igen: rutorna ligger i $3$ rader, och i varje rad finns $5$ rutor. Tre rader med fem i varje är $5\cdot 3=15$. Det är därför man kan multiplicera.

Arean av en rektangel är längden gånger breddenkällaArean av en rektangel är längden gånger bredden. (sv.wikipedia.org, sv.wikipedia.org, webbmatte.se, matteboken.se, matteboken.se)förenkling Källorna skriver A = b · h, basen gånger höjden; kapitlet säger längden gånger bredden. Till källsidan →:

$$\text{area}=\text{la¨ngden}\cdot \text{bredden}$$

Enheten blir ${\text{cm}}^2$ eftersom du multiplicerade centimeter med centimeterkällaMultiplicerar man två längder får arean en areaenhet: centimeter gånger centimeter ger kvadratcentimeter, och meter gånger meter ger kvadratmeter. (nist.gov, sv.wikipedia.org) Till källsidan → — du räknade ut hur många centimeterrutor som får plats.

En kvadrat har samma längd på alla sidor, så arean är sidan gånger sidan.källaArean av en kvadrat är sidan gånger sidan. (sv.wikipedia.org, ne.se) Till källsidan → En kvadratKvadrat: alla fyra sidorna är lika långa och alla fyra vinklarna är räta.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Fyrhörningar med sidan $6$ cm har arean $6\cdot 6=36{\text{cm}}^2$.

Mäter du i meter blir arean i kvadratmeter.källaMultiplicerar man två längder får arean en areaenhet: centimeter gånger centimeter ger kvadratcentimeter, och meter gånger meter ger kvadratmeter. (nist.gov, sv.wikipedia.org) Till källsidan → Ett rum som är $5$ m långt och $4$ m brett har arean $5\cdot 4=20{\text{m}}^2$.

Ibland räcker det att uppskatta arean, alltså räkna ut den ungefär. Ett stort steg är ungefär en meter.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Triangelns area →

Triangelns area ↑

En triangelMånghörningarna får namn efter hur många hörn de har: en triangel har tre hörn (tri betyder tre), en fyrhörning har fyra, en femhörning fem och en sexhörning sex.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Trianglar och andra månghörningar har också en areaArean är hur stor ytan är — hur mycket golv, papper eller gräs som finns innanför kanten.Förklaras i avsnittet Vad area är. Det enklaste sättet att räkna ut den är att börja med en rektangelRektangel: alla fyra vinklarna är räta, men sidorna är lika långa bara två och två.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Fyrhörningar.

En rak linje från ett hörn i en rektangel till hörnet mitt emot kallas en diagonal.källaEn diagonal i en rektangel är en rak linje från ett hörn till hörnet mitt emot. (sv.wikipedia.org)förenkling Kapitlet visar bara diagonalen i en rektangel, från ett hörn till hörnet mitt emot. Till källsidan → DiagonalenEn kvadrat har fyra: en lodrät (stående), en vågrät (liggande) och två genom hörnen. En rektangel som inte är en kvadrat har bara två, den lodräta och den vågräta. Prova att vika en rektangel längs en diagonal, en …Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Symmetri delar rektangeln i två trianglar som är exakt lika stora. Var och en av dem är en rätvinkligEn triangel där en av vinklarna är rät, alltså $90^{\circ }$, kallas rätvinklig.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Trianglar och andra månghörningar triangel, eftersom rektangelns hörn är räta vinklarNär två strålar börjar i samma punkt bildar de en vinkel.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Punkter, sträckor och vinklar.

Varje triangel är alltså hälften av rektangeln. Därför är arean av en rätvinklig triangel hälften av längden gånger breddenkällaArean av en rätvinklig triangel är hälften av längden gånger bredden, alltså hälften av arean av rektangeln med samma längd och bredd. (matteboken.se)förenkling Kapitlet visar bara den rätvinkliga triangeln, där de två sidorna vid den räta vinkeln är varandras bas och höjd, och kallar dem längden och bredden som för rektangeln. Allmänna trianglar kräver begreppet höjd och kommer senare. Till källsidan →:

$$\text{area}=\frac{\text{la¨ngden}\cdot \text{bredden}}{2}$$

Längden och bredden är här de två sidor som möts i den räta vinkelnEn rät vinkel är exakt $90^{\circ }$.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Punkter, sträckor och vinklar. Den längsta sidan, diagonalen, behövs inte för att räkna ut arean.

Andra trianglar räknar man ut på ett liknande sätt, men då behöver man något som kallas triangelns höjd.källaFör att räkna ut arean av andra trianglar behöver man triangelns höjd: arean är en höjd gånger motsvarande sida, delat med två. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → Det lär du dig senare.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Sammansatta figurer →

Sammansatta figurer ↑

Många figurer är inte rektanglarRektangel: alla fyra vinklarna är räta, men sidorna är lika långa bara två och två.Förklaras i Geometriska figurer och vinklar › Fyrhörningar, men de går att dela upp i rektanglar. En figur som är satt ihop av flera rektanglar kallas sammansatt. Då räknar du ut arean för varje del och lägger ihop.källaArean av en sammansatt figur får man genom att dela upp den, räkna ut arean för varje del och lägga ihop. (matematikportalen.se) Till källsidan →

Du kan dela på ett annat sätt och får ändå samma svar. Drar du linjen vågrätt i stället blir det en liten rektangel överst, $3\cdot 3=9{\text{cm}}^2$, och en lång nederst, $8\cdot 2=16{\text{cm}}^2$. Tillsammans $9+16=25{\text{cm}}^2$. Arean är densamma hur du än delarkällaArean av en figur är summan av delarnas areor när delarna inte går in i varandra, hur man än delar figuren. (sv.wikipedia.org) Till källsidan → — det är ett bra sätt att kontrollera sitt svar.

OmkretsenOmkretsen är alltså hur långt det är runt en figur, hela vägen tillbaka till där du började.Förklaras i avsnittet Vad omkrets är av en sammansatt figur räknar du precis som förut: gå runt hela figuren och lägg ihop alla sidor. L-figuren har sex sidor: $3+3+5+2+8+5=26$ cm. Den streckade linjen räknas inte — den är inte en kantkällaOmkretsen är bara figurens ytterkant; linjer man ritat inuti för att dela figuren räknas inte. (ne.se, sv.wikipedia.org) Till källsidan →, den ritade du bara dit för att dela.

Källor till det här avsnittet

Nästa avsnitt: Skillnaden mellan omkrets och area →

Skillnaden mellan omkrets och area ↑

OmkretsOmkretsen är alltså hur långt det är runt en figur, hela vägen tillbaka till där du började.Förklaras i avsnittet Vad omkrets är och areaArean är hur stor ytan är — hur mycket golv, papper eller gräs som finns innanför kanten.Förklaras i avsnittet Vad area är blandas lätt ihop. Men de mäter olika saker, och därför kan två figurer ha samma omkrets och ändå olika area.källaArean av en figur beror inte direkt på omkretsen: två figurer kan ha samma omkrets men olika area, eller samma area men olika omkrets. (ncm.gu.se, matteboken.se) Till källsidan →

Det går också åt andra hållet: en rektangel som är $4$ gånger $3$ har också arean $12{\text{cm}}^2$, men omkretsen $2\cdot 4+2\cdot 3=14$ cm, inte $16$.

Ett sätt att hålla isär dem: omkretsen är staketet runt trädgården, arean är gräsmattan innanför. Staketet mäter du i meter, gräsmattan i kvadratmeterArean av en kvadrat med sidan $1$ meter kallas en kvadratmeter, och den skrivs $1{\text{m}}^2$.Förklaras i avsnittet Vad area är. Titta på enhetenDärför har alla kommit överens om enheter: mått som är exakt lika stora för alla.Förklaras i Enheter och tid › Längd i svaret. Står det cm eller m är det en sträcka, alltså en omkrets. Står det ${\text{cm}}^2$ eller ${\text{m}}^2$ är det en yta, alltså en area.källaOmkretsen är en sträcka och har en längdenhet som cm eller m. Arean är en yta och har en areaenhet som cm² eller m². (ne.se, ne.se, nist.gov) Till källsidan →

Källor till det här avsnittet