Negativa tal

Tallinjen och negativa tal ↑

Tänk dig en linje med noll i mitten. Till höger om noll ligger de positiva talen: $1,2,3,\dots$ Till vänster ligger de negativa talen: $-1,-2,-3,\dots$

$$\dots -4-3-2-101234\dots$$

Ju längre till vänster, desto mindre är talet. Det betyder att $-7$ är mindre än $-2$, även om sjuan är en större siffra. Ett bra sätt att tänka: $-7$ grader är kallare än $-2$ grader.

Minustecknet framför talet talar om på vilken sida av noll talet ligger. Det är en del av talet, inte en räkneoperation. Därför skriver man ofta parenteser när ett negativt tal står i en beräkning: $5+(-3)$ betyder "fem plus talet minus tre".

Två tal som ligger lika långt från noll, som $3$ och $-3$, kallas motsatta tal. De tar ut varandra: $3+(-3)=0$.

Avståndet mellan två tal på linjen räknar du ut genom att räkna steg. Från $-5$ till $3$ är det $5$ steg upp till noll och $3$ steg vidare, alltså $8$ steg.

Addition och subtraktion ↑

När du adderar ett negativt tal går du åt vänster på tallinjen — det är samma sak som att subtrahera:

$$5+(-3)=5-3=2$$

När du subtraherar ett negativt tal går du åt höger — det är samma sak som att addera:

$$5-(-3)=5+3=8$$

Det där sista är regeln som brukar kännas konstig: minus minus blir plus. Tänk på det som att du tar bort en skuld. Har du $5$ kronor och någon stryker en skuld på $3$ kronor, så har du i praktiken fått $3$ kronor till.

Börjar du på ett negativt tal gäller samma tänk. Från $-6$ och fyra steg åt höger:

$$-6+4=-2$$

Från $-2$ och sju steg åt vänster:

$$-2-7=-9$$

När två tecken står intill varandra kan du alltid förenkla först:

Skrivet	Betyder
$+(+3)$	$+3$
$+(-3)$	$-3$
$-(+3)$	$-3$
$-(-3)$	$+3$

Multiplikation och division ↑

Här finns bara två saker att hålla reda på: hur stort svaret blir, och vilket tecken det får.

Storleken räknar du ut som vanligt: $3\cdot 4=12$ oavsett tecken. Tecknet bestäms av teckenreglerna:

• Lika tecken ger plus: $(-3)\cdot (-4)=12$ och $3\cdot 4=12$
• Olika tecken ger minus: $(-3)\cdot 4=-12$ och $3\cdot (-4)=-12$

Samma regler gäller för division:

$$\frac{-20}{5}=-4\frac{-20}{-5}=4\frac{20}{-5}=-4$$

Varför blir minus gånger minus plus? Ett sätt att se det: $3\cdot (-4)$ betyder "tre stycken $-4$", alltså $-12$. Att byta tecken på ena faktorn byter tecken på svaret. Så $(-3)\cdot (-4)$ måste bli motsatsen till $-12$, det vill säga $12$.

Multiplicerar du flera tal räknar du minustecknen. Jämnt antal minus ger plus, udda antal ger minus:

$$(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=16$$

Parenteser och räkneordning ↑

Räkneordningen är densamma som alltid: först parenteser, sedan multiplikation och division, sist addition och subtraktion. Negativa tal ändrar inte ordningen, men de gör det viktigare att följa den.

$$3-2\cdot (-4)$$

Multiplikationen först: $2\cdot (-4)=-8$. Sedan subtraktionen: $3-(-8)=3+8=11$.

Ett vanligt fel är att räkna $3-2$ först och få $1\cdot (-4)=-4$. Det är fel svar, för multiplikationen går före.

Var också noga med skillnaden mellan dessa två:

$$(-2{)}^2=(-2)\cdot (-2)=4-2^2=-(2\cdot 2)=-4$$

I det första fallet är det hela talet $-2$ som upphöjs. I det andra är det bara $2$ som upphöjs, och minustecknet läggs på efteråt. Parentesen avgör.

Negativa tal i vardagen ↑

Negativa tal finns överallt där något kan gå under en nollpunkt.

Temperatur. Är det $-4°\text{C}$ på morgonen och blir $9$ grader varmare under dagen, blir det $-4+9=5°\text{C}$. Sjunker temperaturen från $3$ grader med $8$ grader hamnar den på $3-8=-5°\text{C}$.

Pengar. Ett konto som står på $-250$ kronor har ett underskott. Sätter du in $400$ kronor blir saldot $-250+400=150$ kronor.

Höjd. Höjd anges i förhållande till havsytan. Döda havets yta ligger på ungefär $-430$ meter, alltså $430$ meter under havsnivån. En dykare på $-12$ meter som stiger $5$ meter är på $-12+5=-7$ meter.

Tid. I en nedräkning är "$T$ minus tio sekunder" tio sekunder före nollpunkten.

I alla exemplen är det samma tre frågor: var är noll, åt vilket håll rör vi oss, och hur långt?